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    (新高考)高考数学一轮基础复习讲义6.4数列求和(2份打包,教师版+原卷版)

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    1判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”“×”)

    (1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn.(  )

    (2)n2时,()(  )

    (3)Sna2a23a3nan之和时,只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.(  )

    (4)数列{2n1}的前n项和为n2.(  )

    (5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin2sin2sin2sin288°sin289°44.5.(  )

    2、{an}是公差不为0的等差数列,a12,且a1a3a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn等于(  )

    A.   B.

    C.   Dn2n

    3数列{an}中,an,若{an}的前n项和Sn,则n等于(  )

    A2 016   B2 017

    C2 018   D2 019

    4数列{an}的通项公式为an(1)n1·(4n3),则它的前100项之和S100等于(  )

    A200  B.-200  C400  D.-400

    5数列{an}的通项公式为anncos ,其前n项和为Sn,则S2 017________.

     

     

     

     

     

     

     

    题型一 分组转化法求和

    1 已知数列{an}的前n项和SnnN*.

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)bn2an(1)nan,求数列{bn}的前2n项和.

     

     

     

     

     

    引申探究

    1(2)中,求数列{bn}的前n项和Tn.

     

     

     

     

     

     

    【同步练习】

    1已知数列{an}的通项公式是an2·3n1(1)n·(ln 2ln 3)(1)nnln 3,求其前n项和Sn.

     

     

     

     

    题型二 错位相减法求和

    2 已知数列{an}的前n项和Sn3n28n{bn}是等差数列,且anbnbn1.

    (1)求数列{bn}的通项公式;

    (2)cn,求数列{cn}的前n项和Tn.

     

     

     

     

     

    【同步练习】

    1设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1a1b22qdS10100.

    (1) 求数列{an}{bn}的通项公式;

    (2) d>1时,记cn,求数列{cn}的前n项和Tn.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    1等差数列的前n项和公式

    Snna1d.

    2等比数列的前n项和公式

    Sn

    3一些常见数列的前n项和公式

    (1)1234n.

    (2)13572n1n2.

    (3)24682nn(n1)

    (4)1222n2.

    【知识拓展】

    数列求和的常用方法

    (1)公式法

    等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和.

    (2)分组转化法

    把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.

    (3)裂项相消法

    把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.

    常见的裂项公式

    .

    (4)倒序相加法

    把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.

    (5)错位相减法

    主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.

    (6)并项求和法

    一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.

     

     

     

     

     

     

     

     

    题型三 裂项相消法求和

    命题点1 形如an

    3 Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0a2an4Sn3.

    (1){an}的通项公式;

    (2)bn,求数列{bn}的前n项和.

     

    4 已知函数f(x)xa的图象过点(4,2),令annN*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 017________.

    【同步练习】

    1在数列{an}中,a11,当n2时,其前n项和Sn满足San.

    (1)Sn的表达式;

    (2)bn,求{bn}的前n项和Tn.

     

     

     

     

     

    题型四 数列求和的综合应用

    5 正项数列{an}的前n项和Sn满足:S(n2n1)Sn(n2n)0.

    (1)求数列{an}的通项公式an

    (2)bn,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的nN*,都有Tn<.

     

     

     

     

    【同步练习】1在数列{an}中,已知a11an1.

    (1)t0,求数列{an}的通项公式;

    (2)t1,求证:<.

     

     

     

    题型五 四审结构定方案

    6 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2kn(其中kN*),且Sn的最大值为8.

    (1)确定常数k,并求an

    (2)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<4.

     

     

     

     

     

     

     

     

    一、分组转化法求和的常见类型

    (1)anbn±cn,且{bn}{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.

    (2)通项公式为an的数列,其中数列{bn}{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.

    二、错位相减法求和时的注意点

    (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;

    (2)在写出SnqSn的表达式时应特别注意将两式错项对齐以便下一步准确写出SnqSn的表达式;

    (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

    三、数列和其他知识的综合,可先确定数列项的递推关系,求出数列通项或前n项和;也可通过放缩法适当变形后再求和,进而证明一些不等式.

     

     

     

    1.数列1357(2n1)的前n项和Sn的值等于(  )

    An21   B2n2n1

    Cn21   Dn2n1

    2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a12 016,且an2an1an20(nN*),则S2 016等于(  )

    A0  B2 016

    C2 015   D2 014

    3.等差数列{an}的通项公式为an2n1,其前n项和为Sn,则数列的前10项的和为(  )

    A120   B70

    C75   D100

     

    4数列{an}中,an1(1)nan2n1,则数列{an}的前12项和等于(  )

    A76   B78

    C80   D82

    5.已知函数f(n)anf(n)f(n1),则a1a2a3a100等于(  )

    A0   B100

    C.-100  D10 200

    6.设数列{an}的通项公式为an2n7,则|a1||a2||a15|等于(  )

    A153   B210

    C135   D120

    7.已知数列{an}的通项公式为an,若前n项和为10,则项数n________

    8.在等差数列{an}中,a10a10·a110,若此数列的前10项和S1036,前18项和S1812,则数列{|an|}的前18项和T18的值是________

    9.若已知数列的前四项是,则数列的前n项和为__________

    *10.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,任意nN*,2Snaan.bn,设{bn}的前n项和为Tn,则在T1T2T3T100中有理数的个数为________

    11.已知数列{an}中,a13a25,且{an1}是等比数列.

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)bnnan,求数列{bn}的前n项和Tn.

     

     

     

     

     

     

     

     

    12.已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且S663.

    (1){an}的通项公式;

    (2)若对任意的nN*bnlog2anlog2an1的等差中项,求数列{(1)nb}的前2n项和.

     

     

     

     

     

     

     

     

    *13.若数列{an}的前n项和为Sn,点(anSn)yx的图象上(nN*)

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)c10,且对任意正整数n都有cn1cn求证:对任意正整数n2

    总有.

     

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