初中数学沪科版八年级下册17.1 一元二次方程评课课件ppt

这是一份初中数学沪科版八年级下册17.1 一元二次方程评课课件ppt，共18页。PPT课件主要包含了两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数根，两个实数根，Δ≥0，要点归纳，按要求完成下列表格，练一练，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根等内容，欢迎下载使用。

问题：老师写了 4 个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来快速说出了每个方程的解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0).
解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0. 配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - . 即 (x + )2 =
问题1：接下来能直接开平方吗？
一元二次方程根的判别式
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0.当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 =当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 =当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)，所以此时原方程没有实数根.
我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ = b2 - 4ac.
3. 判别根的情况，得出结论.
1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值；
2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号；
应用1 用根的判别式判断一元二次方程根的情况
例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0. ∵ Δ = 12 - 4×1×(-1) = 5＞0，∴ 该方程有两个不相等的实数根.
Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
应用2 根据方程根的情况确定字母的取值范围
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0
解析：由于方程有两个不相等的实数根，故 Δ > 0，同时二次项系数不能为 0，即 ，k ≠ 0，解得 k > -1 且 k ≠ 0.
应用3 不解方程判断一元二次方程的根的情况
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 3x2 + 4x - 3=0； (2) 4x2 = 12x - 9；
解：(1)这里 a = 3，b = 4，c = -3， ∴ Δ = b2 - 4ac = 42 - 4×3×(-3) = 52＞0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． (2)将方程整理，得 4x2 - 12x + 9 = 0. ∴ Δ = (-12)2 - 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根．
(3) 7y = 5(y2 + 1).
解：将方程整理，得 5y2 - 7y + 5 = 0， ∴ Δ = (-7)2 - 4×5×5 = -51＜0. ∴ 方程没有实数根．
1. 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 .
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
解析：由题意知，Δ = (-2)2 - 4m≥0，
2. 不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 2x2 + 3x - 4 = 0； (2) x2 - x + = 0；
解：(1) 这里 a = 2，b = 3，c = -4， ∴ Δ = 32 - 4×2×(-4) = 41＞0. ∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 这里 a = 1，b = -1，c = ， ∴ Δ = (-1)2 - 4×1× = 0. ∴ 原方程有两个相等的实数根．
解：这里 a = 1，b = -1，c = 1， ∴ Δ = ( -1)2 - 4×1×1 = -3 < 0. ∴ 原方程没有实数根．
(3) x2 - x + 1 = 0.
3. 不解方程，判别关于 x 的方程 的 实数根的情况.
∴ 原方程一定有两个实数根．
能力提升：4. 在等腰△ABC 中，三边分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：∵ 所给方程有两个相等的实数根，
∴ Δ = (b + 2)2 - 4×(6 - b) = b2 + 8b - 20 = 0.
解得 b = 2 或 b = -10 (舍去).
当 a 为底，b 为腰时，2 + 2 < 5，不能构成三角形，舍去；
当 b 为底，a 为腰时，5 - 2 < 5 < 5 + 2，能构成三角形.
∴ △ABC 的三边长为 5，5，2，周长为 12.