2023年中考数学一轮复习——直击中考运算专题02 整式、乘法公式、因式分解（通用版）

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专题02 整式、乘法公式、因式分解 【直击中考】【考向一 整式的有关概念】例题：（2022·青海·统考中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.【答案】【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有根木料，以此类推，得到第个图形有根木料．【详解】解：∵第一个图形有根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有木料，∴第个图形有根木料，故答案为：．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．【变式训练】1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）下列各式不是单项式的为（    ）A．3 B．a C． D．【答案】C【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，根据单项式的定义进行判断即可．【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；B、a是单项式，故本选项不符合题意；C、不是单项式，故本选项符合题意；D、是单项式，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（    ）A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)【答案】A【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选：A．【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．3．（2022·江西·统考中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．4．（2022·广东·统考中考真题）单项式的系数为___________．【答案】3【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案．【详解】的系数是3，故答案为：3．【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义．5．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．【答案】【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：奇数个单项式的系数为：而单项式的指数是奇数，从而可得答案．【详解】解：，，，，，…，由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为 第1个指数为： 第2个指数为： 第3个指数为： 指数为 所以第20个单项式是： 故答案为：【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．6．（2022·湖北恩施·统考中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．【答案】          【分析】由题意推导可得an=，即可求解．【详解】解：由题意可得：a1=2=，a2=，a3=，∵，∴2+=7，∴a4=，∵，∴a5=，同理可求a6=，∴an=，∴a2022=，故答案为：，．【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键． 【考向二 整式的运算】例题1．（2022·湖南永州·统考中考真题）若单项式的与是同类项，则______．【答案】6【分析】由题意直接根据同类项的概念，进行分析求解即可．【详解】解：∵单项式与是同类项，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”即相同字母的指数相同．例题2．（2022·青海西宁·统考中考真题）=_________【答案】【分析】根据积的乘方法则计算即可．【详解】解：=，故答案为：．【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握运算法则．【变式训练】1．（2022·贵州黔西·统考中考真题）计算正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先算积的乘方，再算同底数幂的乘法，即可得．【详解】= 故选：C．【点睛】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，能灵活运用法则进行计算是解题的关键．2．（2022·西藏·统考中考真题）下列计算正确的是（　　）A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2【答案】A【详解】A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，选项正确，符合题意；B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，选项不正确，不符合题意；C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查整式的加减．在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可．3．（2022·青海·统考中考真题）下列运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．【详解】A.选项，3x2与4x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；B.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；C.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；D.选项，原式=，故该选项计算正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点．4．（2022·甘肃武威·统考中考真题）计算：_____________．【答案】【分析】根据单项式的乘法直接计算即可求解．【详解】解：原式＝．故答案为：．【点睛】本题考查了单项式的乘法，正确的计算是解题的关键．5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．【答案】【分析】设这个多项式为A，由题意得：，求解即可．【详解】设这个多项式为A，由题意得：，，故答案为：．【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．6．（2022·山东威海·统考中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．【答案】1【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可．【详解】如图，根据题意，可得第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为： 解得 ∴ 故答案为：1【点睛】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．7．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1．【答案】，【分析】根据整式的加减运算化简，然后将字母的值代入即可求解．【详解】解：原式＝4xy－2xy+3xy＝＝5xy；当x＝2，y＝－1时，原式＝．【点睛】本题考查了整式加减的化简求值，正确的计算是解题的关键．8．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．【详解】解：原式==；当x=时，原式==3+1-=-．【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【考向三 与乘法公式有关的运算】例题：（2022·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，-9【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式．，，原式【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．【变式训练】1．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）计算：（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据完全平方公式展开即可．【详解】解：原式=故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．2．（2022·上海·统考中考真题）下列运算正确的是……（  ）A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2【答案】D【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D．【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意D.（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意故选：D．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．3．（2022·江苏南通·统考中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ）A．24 B． C． D．【答案】B【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案．【详解】解：；∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最大值为，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键．4．（2022·湖南益阳·统考中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 _____．【答案】3【分析】观察已知和所求可知，，将代数式的值代入即可得出结论．【详解】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．5．（2022·四川广安·统考中考真题）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．【答案】10【分析】根据平方差公式，把原式化为，可得，即可求解．【详解】解：a2﹣b2 +2b+9 故答案为：10【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．6．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为____________．【答案】或【分析】直接利用完全平方公式求解．【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，∴，∴，解得或，故答案为：或【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．7．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．【答案】【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：原式＝； a＝-，b＝+，∴原式【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．8．（2022·广东广州·统考中考真题）已知T=(1)化简T；(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．【答案】(1)；(2)T= 【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解．（1）解：T==；（2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，则T=．【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 【考向四 因式分解】例题：（2022·贵州黔东南·统考中考真题）分解因式：_______．【答案】##【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式=；故答案为．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东济宁·统考中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C、符合因式分解的形式，符合题意；D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．2．（2022·广西柳州·统考中考真题）把多项式a2+2a分解因式得（　　）A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）【答案】A【分析】运用提公因式法进行因式分解即可．【详解】故选A【点睛】本题主要考查了因式分解知识点，掌握提公因式法是解题的关键．3．（2022·广西河池·统考中考真题）多项式因式分解的结果是(   )A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2【答案】D【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：．故选：D．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．4．（2022·江苏扬州·统考中考真题）分解因式：_____．【答案】##【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解．【详解】，故答案：．【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是恒等变形．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止．5．（2022·四川绵阳·统考中考真题）因式分解：_________．【答案】【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：原式＝．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．6．（2022·广东广州·统考中考真题）分解因式：________【答案】【分析】直接提取公因式3a即可得到结果．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查因式分解，解本题的关键是熟练掌握因式分解时有公因式要先提取公因式，再考虑是否可以用公式法．7．（2022·山东济南·统考中考真题）因式分解：______．【答案】【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．（2022·湖北恩施·统考中考真题）因式分解：______．【答案】【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征．9．（2022·贵州黔西·统考中考真题）已知，，则的值为_____．【答案】6【分析】将因式分解，然后代入已知条件即可求值．【详解】解： ．故答案为：6【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．10．（2022·青海西宁·统考中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将因式分解；【挑战】(2)请用分组分解法将因式分解；【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．【答案】(1)(2)(3)，9【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，∴根据题意得，，∴原式．【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．