新高考数学一轮复习讲义2.3《函数的奇偶性与周期性》(2份打包，解析版+原卷版)

§2.3　函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

2.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有           ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个     的正数，那么这个         

就叫做f(x)的最小正周期．

概念方法微思考

1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？

2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？

(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．

(2)f(x＋a)＝(a≠0)．

(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　 　)

(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　 　)

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　 　)

题组二　教材改编

2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.

3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝______.

4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．

题组三　易错自纠

5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)

A．－  B.  C.  D．－

6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝________.

题型一　函数奇偶性的判断

例1 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝

跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是(　　)

A．f(x)＝x＋sin 2x   B．f(x)＝x2－cos x

C．f(x)＝3x－   D．f(x)＝x2＋tan x

(2)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是(　　)

A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数

B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数

C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数

D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数

题型二　函数的周期性及其应用

1．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.

2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 020)＝________.

3．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.

4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.

题型三　函数性质的综合应用

命题点1　求函数值或函数解析式

例2 (1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝

则f(2 021)＝________.

(2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________.

命题点2　求参数问题

例3 (1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝__________.

(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f，则a＋3b的值为________．

(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋ax－1－a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是____________．

命题点3　利用函数的性质解不等式

例4 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是(　　)

A．(0，e2)   B．(e－2，＋∞)

C．(e2，＋∞)   D．(e－2，e2)

(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为______________．

跟踪训练2 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝，则f(x)在区间内是(　　)

A．减函数且f(x)>0   B．减函数且f(x)<0

C．增函数且f(x)>0   D．增函数且f(x)<0

(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.

(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．

函数的性质

函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

一、函数性质的判断

例1 (1)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)

A．f(x)在(0,2)上单调递增

B．f(x)在(0,2)上单调递减

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减(　　)

A．[3,7]  B．[4,5]  C．[5,8]  D．[6,10]

(3)(2018·大连模拟)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0.给出下列命题：

①f(3)＝0；

②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；

③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；

④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．

其中所有正确命题的序号为________．

二、函数性质的综合应用

例2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于(　　)

A．－50  B．0  C．2  D．50

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)

A．f(－25)<f(11)<f(80)

B．f(80)<f(11)<f(－25)

C．f(11)<f(80)<f(－25)

D．f(－25)<f(80)<f(11)

(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>

f(－)，则a的取值范围是________．

1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是(　　)

A．f(x)＝   B．f(x)＝

C．f(x)＝2x＋2－x   D．f(x)＝－cos x

2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于(　　)

A．－3  B．－  C.  D．3

3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)

①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.

A．①③  B．②③  C．①④  D．②④

4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f(x)＝

log2(－3x＋1)，则f(2 021)等于(　　)

A．4  B．2  C．－2  D．log27

5．(2018·锦州调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　)

A．(2，＋∞)   B.∪(2，＋∞)

C.∪(，＋∞)   D．(，＋∞)

6．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)

A．f(0)<f(－6.5)<f(－1)

B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)

C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)

D．f(－1)<f(0)<f(－6.5)

7．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.

8．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x，则f的值为________．

9．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________．

10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________．

11．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．

13．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________.

14．已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是__________．

15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝________.

16．已知函数f(x)＝sin x＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，求x的取值范围．