新高考数学一轮复习讲义4.6《正弦定理和余弦定理》(2份打包，解析版+原卷版)

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§4.6　正弦定理和余弦定理最新考纲考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度. 1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)＝＝＝2R(2)a2＝              ；b2＝              ；c2＝              变形(3)a＝2Rsin A，b＝       ，c＝       ；(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(5)a∶b∶c＝              ；(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝；cos B＝；cos C＝ 2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsin Absin A<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解  3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．概念方法微思考1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sin A>sin B?  2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcos C＋ccos B＝a.试类比写出另外两个式子．  题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　 　)(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　 　)(3)在△ABC中，＝.(　 　)(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　 　)题组二　教材改编2．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为        ．3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为        ．题组三　易错自纠4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c<bcos A，则△ABC为(　　)A．钝角三角形   B．直角三角形C．锐角三角形   D．等边三角形5．(2018·大连质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)A．有一解   B．有两解C．无解   D．有解但解的个数不确定6．(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝        . 题型一　利用正弦、余弦定理解三角形例1 (2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．      跟踪训练1 (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于(　　)A.  B.  C.  D.(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为        ．题型二　和三角形面积有关的问题例2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．         跟踪训练2 (1)(2018·沈阳质检)若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为(　　)A．2  B.  C.  D．3(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是        ． 题型三　正弦定理、余弦定理的应用 命题点1　判断三角形的形状例3 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形   B．直角三角形C．钝角三角形   D．不确定引申探究1．本例(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．   2．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．   命题点2　求解几何计算问题例4 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝，求CD的长．     跟踪训练3　(1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)A．等边三角形   B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形   D．等腰直角三角形(2)(2018·铁岭统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝        .1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c等于(　　)A．1  B．2  C．4  D．62．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2，C＝30°，则B等于(　　)A．30°   B．60°C．30°或60°   D．60°或120°3．(2018·丹东模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为(　　)A.  B.  C．1  D．24．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为(　　)A．等边三角形   B．等腰三角形C．直角三角形   D．等腰直角三角形5．(2018·本溪质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)A．4π  B．8π  C．9π  D．36π6．(2018·乌海模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于(　　)A．2  B．4  C．2  D．37．(2018·通辽模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为      ．8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝        .9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为        ．10．(2018·锦州质检)若E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝        .11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝b，sin B＝sin C.(1)求cos A的值；(2)求cos的值．      12．(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.(1)求∠A；(2)求AC边上的高． 13．在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是(　　)A．不等腰的直角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．正三角形14．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为(　　)A．2  B．6  C.  D．915．在△ABC中，C＝60°，且＝2，则△ABC面积S的最大值为        ．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－(b－c)2＝(2－)bc，且sin B＝1＋cos C，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．