新高考数学一轮复习讲义5.5《复数》(2份打包，解析版+原卷版)

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§5.5　复　数
最新考纲
考情考向分析
1.理解复数的基本概念.
2.理解复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.
4.能进行复数代数形式的四则运算.
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想.一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.



1.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：

满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

概念方法微思考
1.复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？
提示　不一定.只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部.
2.如何理解复数的加法、减法的几何意义？
提示　复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.(　×　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　×　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点.(　√　)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　√　)
题组二　教材改编
2.设z＝＋2i，则|z|等于(　　)
A.0 B. C.1 D.
答案　C
解析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
∴|z|＝1.故选C.
3.在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)
A.1－2i B.－1＋2i C.3＋4i D.－3－4i
答案　D
解析　＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.－1或1
答案　A
解析　∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.
题组三　易错自纠
5.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　∵复数a＋＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件.故选C.
6.(2019·葫芦岛模拟)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　由题意，∵z＝＝＝－2－2i，
∴＝－2＋2i，则z的共轭复数对应的点在第二象限.故选B.
7.i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020＝________.
答案　－i
解析　原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.

题型一　复数的概念
1.若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则复数z的虚部为(　　)
A. B.－ C.i D.－i
答案　B
解析　因为(1＋2i)z＝1－i，
所以z＝＝＝，
因此复数z的虚部为－，故选B.
2.(2019·大连质检)复数的共轭复数是(　　)
A.－＋i B.－－i C.－i D.＋i
答案　D
解析　由复数＝＝＝－i，
所以共轭复数为＋i，故选D.
3.(2018·抚顺模拟)已知复数是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a等于(　　)
A.－4 B.4 C.1 D.－1
答案　C
解析　＝＝，
∵复数为纯虚数，
∴2a－2＝0且a＋4≠0，
解得a＝1.故选C.
思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解.

题型二　复数的运算

命题点1　复数的乘法运算
例1　(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于(　　)
A.－3－i B.－3＋i C.3－i D.3＋i
答案　D
解析　(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
(2)i等于(　　)
A.3－2i B.3＋2i C.－3－2i D.－3＋2i
答案　D
解析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.
命题点2　复数的除法运算
例2　(1)(2018·全国Ⅱ)等于(　　)
A.－－i B.－＋i
C.－－i D.－＋i
答案　D
解析　＝＝
＝＝－＋i.
故选D.
(2)(2019·通辽诊断)已知i为虚数单位，复数z满足iz＝2z＋1，则z等于(　　)
A.－－i B.＋i C.2＋i D.2－i
答案　A
解析　由iz＝2z＋1，得(2－i)z＝－1，
解得z＝＝，
即z＝－－i，故选A.
命题点3　复数的综合运算
例3 (1)(2019·盘锦模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则等于(　　)
A. B.3＋4i C.5 D.7
答案　C
解析　z＝＝＝3＋4i，
故＝3－4i⇒||＝5，故选C.
(2)(2018·乌海模拟)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；
④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，
①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；
②＝＝＝＝－i，故②正确；
③＝＝1，故③正确；
④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正确.故选C.
思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算.
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
跟踪训练1　(1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，z·＝4，则a为(　　)
A.1或－1 B.1
C.－1 D.不存在的实数
答案　A
解析　由题意得＝－ai，
故z·＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.
(2)(2019·铁岭质检)已知复数a＋bi＝(i是虚数单位，a，b∈R)，则a＋b等于(　　)
A.－2 B.－1 C.0 D.2
答案　A
解析　由复数的运算法则，可得
＝＝＝＝－1－i，
结合题意可得a＋bi＝－1－i，即a＝－1，b＝－1，
据此可得a＋b＝－2.故选A.
题型三　复数的几何意义
例4　(1)(2018·赤峰质检)复数z满足(2＋i)z＝，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　∵(2＋i)z＝＝＝5，
∴(2＋i)z＝5，
5z＝5，z＝2－i，
z在复平面内对应的点为(2，－1)，在第四象限，故选D.
(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：

①，所表示的复数；
②对角线所表示的复数；
③B点对应的复数.
解　①∵＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
②∵＝－，∴所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③＝＋＝＋，
∴所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华 复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.
跟踪训练2　(1)(2018·阜新模拟)已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数对应的点在(　　)
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
答案　A
解析　∵z＝＝＝＋i，
∴＝－i，则z的共轭复数对应的点在第四象限.故选A.
(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是________.
答案　5
解析　由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，
∵＝x＋y，
∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，
∴解得故x＋y＝5.


1.已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则等于(　　)
A.－8－6i B.－8＋6i C.8＋6i D.8－6i
答案　C
解析　∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴＝＝＝8＋6i.
2.(2019·包头质检)若复数z满足(1＋2i)·z＝2＋i，其中i为虚数单位，则|z|等于(　　)
A. B. C.1 D.2
答案　C
解析　由题意可得z＝，
则|z|＝＝＝＝1.故选C.
3.已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　＝＝＝1－i，在复平面内对应的点为(1，－1)，所以在第四象限，故选D.
4.已知i为虚数单位，若复数z满足＝1＋i，那么|z|等于(　　)
A.1 B. C. D.5
答案　C
解析　∵＝1＋i，z＋i＝(1＋i)，iz＝(2＋i)i，
∴z＝2＋i，∴|z|＝＝，故选C.
5.已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则a等于(　　)
A. B.－ C.2 D.－2
答案　B
解析　由题意知＝
＝＝＋i，
又由为纯虚数，
所以－2a－1＝0且a－2≠0，解得a＝－，故选B.
6.若复数z满足z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数等于(　　)
A.－－i B.－＋i
C.－－i D.－＋i
答案　D
解析　由题意可得z＝＝＝，
所以＝－＋i，故选D.
7.已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为(　　)
A.20 B.12 C.2 D.2
答案　C
解析　设z＝a＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
则解得或
即|z|＝＝＝2.故选C.
8.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________.
答案　3或6
解析　∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，
∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，
∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，
解得m＝6或m＝3，经检验符合题意.
9.(2018·江苏)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________.
答案　2
解析　由i·z＝1＋2i，得z＝＝2－i，
∴z的实部为2.
10.(2018·天津)i是虚数单位，复数＝________.
答案　4－i
解析　＝＝＝4－i.
11.已知复数z满足z＋＝0，则|z|＝________.
答案　
解析　由复数z满足z＋＝0，则z2＝－3，
所以z＝±i，所以|z|＝.
12.若复数z＝1－i，则z＋的虚部是________.
答案　－
解析　z＋＝1－i＋＝1－i＋＝－i，故虚部为－.
13.(2018·营口质检)已知复数z满足(1－i)z＝i3，则|z|＝________.
答案　
解析　由题意知z＝＝＝
＝－i，
则|z|＝＝.
14.(2019·乌海调研)已知i为虚数单位，复数z(1＋i)＝2－3i，则z的虚部为________.
答案　－
解析　由z(1＋i)＝2－3i，
得z＝＝＝＝－－i，
则z的虚部为－.
15.已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位.
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.
解　(1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝＝
＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，m∈R，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以解得m