新高考数学一轮复习讲义7.1《不等关系与不等式》(2份打包，解析版+原卷版)

§7.1　不等关系与不等式

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法(a，b∈R)

(2)作商法(a∈R，b>0)

2.不等式的基本性质

3.不等式的一些常用性质

(1)倒数的性质

①a>b，ab>0⇒   .

②a<0<b⇒   .

③a>b>0,0<c<d⇒   .

④0<a<x<b或a<x<b<0⇒      .

(2)有关分数的性质

若a>b>0，m>0，则

①<；>(b－m>0).

②>；<(b－m>0).

概念方法微思考

1.若a>b，且a与b都不为0，则与的大小关系确定吗？

2.两个同向不等式可以相加和相乘吗？

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种.(　 　)

(2)若>1，则a>b.(　 　)

(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.(　 　)

(4)a>b>0，c>d>0⇒>.(　 　)

(5)ab>0，a>b⇔<.(　 　)

题组二　教材改编

2.若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

3.设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A.a－c<b－d   B.ac<bd

C.a＋c>b＋d   D.a＋d>b＋c

题组三　易错自纠

4.若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)

A.－>0   B.－<0

C.>   D.<

5.设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

6.若－<α<β<，则α－β的取值范围是__________.

题型一　比较两个数(式)的大小

例1　(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)

A.p<q  B.p≤q  C.p>q  D.p≥q

(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小.

跟踪训练1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________.

(2)若a>0，且a≠7，则(　　)

A.77aa<7aa7

B.77aa＝7aa7

C.77aa>7aa7

D.77aa与7aa7的大小不确定

题型二　不等式的性质

例2　(1)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是(　　)

A.若a>b，c≠0，则ac>bc

B.若a>b，则ac2>bc2

C.若ac2>bc2，则a>b

D.若a>b，则<

(2)已知四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推出<的是______.(填序号)

跟踪训练2　(1)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　)

A.ab>ac   B.c(b－a)<0

C.cb2<ab2   D.ac(a－c)>0

(2)若<<0，则下列不等式：

①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2中，正确的不等式有________.(填序号)

题型三　不等式性质的应用

命题点1　应用性质判断不等式是否成立

例3　已知a>b>0，给出下列四个不等式：

①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.

其中一定成立的不等式为(　　)

A.①②③   B.①②④

C.①③④   D.②③④

命题点2　求代数式的取值范围

例4　已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.

引申探究

若将本例条件改为－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围.

跟踪训练3　(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是(　　)

A.>   B.a2<ab

C.<   D.an>bn

(2)已知－1<x<y<3，则x－y的取值范围是________.

一、选择题

1.下列命题中，正确的是(　　)

A.若a>b，c>d，则ac>bd

B.若ac>bc，则a>b

C.若<，则a<b

D.若a>b，c>d，则a－c>b－d

2.若<<0，则下列结论正确的是(　　)

A.a2>b2   B.1>b>a

C.＋<2   D.aeb>bea

3.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A.a＋>b＋   B.>

C.a－>b－   D.>

4.(2018·沈阳模拟)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(　　)

A.xy>yz   B.xz>yz

C.xy>xz   D.x|y|>z|y|

5.设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sin x＋cos x)2，则(　　)

A.P>Q   B.P<Q

C.P≤Q   D.P≥Q

6.若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　)

A.－π<2α－β<0   B.－π<2α－β<π

C.－<2α－β<   D.0<2α－β<π

7.设0<b<a<1，则下列不等式成立的是(　　)

A.ab<b2<1   

C.2b<2a<2   D.a2<ab<1

8.若a＝，b＝，c＝，则(　　)

A.a<b<c   B.c<b<a

C.c<a<b   D.b<a<c

9.已知实数x，y满足ax>ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是(　　)

A.ln(x2＋1)>ln(y2＋1)

B.sin x>sin y

C.x3<y3

D.>

10.设0<b<a<1，则下列不等式成立的是(　　)

A.aln b>bln a   B.aln b<bln a

C.aeb<bea   D.aeb＝bea

二、填空题

11.已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________.

12.已知有三个条件：①ac2>bc2；②>；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是________.

13.已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：

①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；

②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；

③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.

其中正确的命题是________.(填序号)

14.设α∈，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，则T1与T2的大小关系为________.

三、解答题

15.(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；

(2)已知c>a>b>0，求证：>.

16.已知1<a<4,2<b<8，试求a－b与的取值范围.