新高考数学一轮复习讲义8.5《直线、平面垂直的判定与性质》(2份打包，解析版+原卷版)

§8.5　直线、平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直

(1)定义

如果直线l与平面α内的        直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．

(2)判定定理与性质定理

2．直线和平面所成的角

(1)定义

平面的一条斜线和      所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是      ，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是   的角．

(2)范围：.

3．平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的       所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作     的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．

(2)平面和平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是      ，就说这两个平面互相垂直．

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

概念方法微思考

1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？

2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　 　)

(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　 　)

(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　 　)

(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　 　)

(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　 　)

(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　 　)

题组二　教材改编

2．[P73T1]下列命题中错误的是(　　)

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

3．[P67练习T2]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

题组三　易错自纠

4．(2018·赣州模拟)若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(　　)

A．与AC，MN均垂直

B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与AC不垂直，与MN垂直

D．与AC，MN均不垂直

6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．MN∥AB

B．平面VAC⊥平面VBC

C．MN与BC所成的角为45°

D．OC⊥平面VAC

题型一　直线与平面垂直的判定与性质

例1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.

跟踪训练1 (2019·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

题型二　平面与平面垂直的判定与性质

例2 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；

(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．

跟踪训练2 (2018·武昌调研)如图，三棱锥P－ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；

(2)若PA＝PC，求三棱锥P－ABC的体积．

题型三　垂直关系的综合应用

命题点1　直线与平面所成的角

例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．

(1)证明：△PBC是直角三角形；

(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为  时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

命题点2　与垂直有关的探索性问题

例4 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.

(1)求证：C1E∥平面ADF；

(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF.

跟踪训练3 如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.

(1)求证：平面CFG⊥平面ACE；

(2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由．

1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)

A．m∥l  B．m∥n  C．n⊥l  D．m⊥n

2．(2019·宁波模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是(　　)

A．若l∥m，则必有α∥β

B．若l⊥m，则必有α⊥β

C．若l⊥β，则必有α⊥β

D．若α⊥β，则必有m⊥α

3.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

4．(2019·昆明适应性检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则(　　)

A．MN∥C1D1   B．MN⊥BC1

C．MN⊥平面ACD1   D．MN⊥平面ACC1

5．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)

A.   B.

C.   D.

6.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．

7.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．

8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_______时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为________．

11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.

(1)求证：AB∥EF；

(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.

12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB.

(1)证明：MN∥平面PDC；

(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．

13．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有(　　)

A．AG⊥平面EFH   

B．AH⊥平面EFH

C．HF⊥平面AEF   

D．HG⊥平面AEF

14．(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)

A.   

B.

C.   

D.

15.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)

①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；

④在折起过程中，一定不会有EC⊥AD.

16.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC的中点．

(1)求证：FM∥平面BDE；

(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离．