新高考数学一轮复习讲义9.5《椭圆第1课时椭圆及其性质 》(2份打包，解析版+原卷版)

§9.5　椭　圆

1．椭圆的概念

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做     ．这两个定点叫做椭圆的     ，两焦点间的距离叫做椭圆的     ．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若    ，则集合P为椭圆；

(2)若    ，则集合P为线段；

(3)若    ，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程和几何性质

概念方法微思考

1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？

2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？

3．点和椭圆的位置关系有几种？如何判断．

4．直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　 　)

(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　 　)

(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　 　)

(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　 　)

题组二　教材改编

2．[P49T4]椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)

A．4  B．8  C．4或8  D．12

3．[P80T3]过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

4．[P49T6]已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．

题组三　易错自纠

5．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是(　　)

A．(－3,5)   B．(－5,3)

C．(－3,1)∪(1,5)   D．(－5,1)∪(1,3)

6．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)

A．－21   B．21

C．－或21   D.或21

7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋y2＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

第1课时　椭圆及其性质

题型一　椭圆的定义及应用

1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆   B．双曲线

C．抛物线   D．圆

2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)

A．2  B．6  C．4  D．12

3．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于(　　)

A.   B.

C.   D．4

4．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．

题型二　椭圆的标准方程

命题点1　定义法

例1 (1)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.＋＝1

(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A.＋＝1(y≠0)   B.＋＝1(y≠0)

C.＋＝1(y≠0)   D.＋＝1(y≠0)

命题点2　待定系数法

例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为__________．

(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________________．

跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．

题型三　椭圆的几何性质

命题点1　求离心率的值(或范围)

例3 (1)(2018·深圳模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|＝a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

(3)已知椭圆＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．

命题点2　求参数的值(或范围)

例4 (2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)

A．(0,1]∪[9，＋∞)   B．(0，]∪[9，＋∞)

C．(0,1]∪[4，＋∞)   D．(0，]∪[4，＋∞)

跟踪训练2 (1)已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．

(2)在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．

(3)(2018·阜阳模拟)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A.  B.  C.  D.

1．(2018·开封模拟)曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(k<9)的(　　)

A．长轴长相等   B．短轴长相等

C．离心率相等   D．焦距相等

2．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

3．(2018·重庆检测)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为(　　)

A．60°  B．120°  C．150°  D．30°

4．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|＋|＝2，则∠F1PF2等于(　　)

A.   B.

C.   D.

5．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)

A．8   B．10

C．12   D．15

6．(2018·昆明调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：

①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.

其中正确式子的序号是(　　)

A．①③   B．①④

C．②③   D．②④

7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________．

8．设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为__________．

9．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点F(－，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为________．

10．已知A，B，F分别是椭圆x2＋＝1(0<b<1)的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF的外接圆的圆心坐标为(p，q)．若p＋q>0，则椭圆的离心率的取值范围为______________．

11．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹C的方程．

12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

13．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为(　　)

A.－1   B．2－

C.   D.

14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，＝________.

15．椭圆C1：＋＝1的离心率为e1，双曲线C2：－＝1的离心率为e2，其中，a>b>0，＝，直线l：x－y＋3＝0与椭圆C1相切，则椭圆C1的方程为(　　)

A.＋y2＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，求该椭圆的离心率的取值范围．