新高考数学一轮复习讲义9.8《曲线与方程》(2份打包，解析版+原卷版)

§9.8　曲线与方程

1．曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做          ，这条曲线叫做           ．

2．求动点的轨迹方程的基本步骤

概念方法微思考

1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件吗？

2．方程y＝与x＝y2表示同一曲线吗？

3．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹是什么图形？

4．曲线的交点与方程组的关系是怎样的？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　 　)

(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　 　)

(3)y＝kx与x＝y表示同一直线．(　 　)

(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(　 　)

题组二　教材改编

2．[P37T3]已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)

A．双曲线   B．椭圆

C．圆   D．抛物线

3．[P35例1]曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为______．

4．[P37B组T1]若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________．

题组三　易错自纠

5．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)

A．两条直线   B．两条射线

C．两条线段   D．一条直线和一条射线

6．已知M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)

A．双曲线   B．双曲线左支

C．一条射线   D．双曲线右支

7．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是__________．

题型一　定义法求轨迹方程

例1 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．

跟踪训练1 在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝2，则顶点A的轨迹方程为______________．

题型二　直接法求轨迹方程

例2 (2016·全国Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

跟踪训练2 (2018·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形．

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．

题型三　相关点法求轨迹方程

例3 如图所示，抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.

(1)求p的值；

(2)求动点M的轨迹方程．

跟踪训练3 (2018·安阳调研)

如图，动圆C1：x2＋y2＝t2 ,1<t<3与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．

1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　)

A．一条直线和一条双曲线

B．两条双曲线

C．两个点

D．以上答案都不对

2．已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足|＋|＝2，则P点的轨迹方程是(　　)

A．4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0

B．4x2＋4y2－4x－8y－1＝0

C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0

D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0

3．(2018·湛江模拟)在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)

A．直线  B．椭圆  C．圆  D．双曲线

4．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)

A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)

B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)

C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)

D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)

5．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程．

下表给出了一些条件及方程：

则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为(　　)

A．C3，C1，C2   B．C1，C2，C3

C．C3，C2，C1   D．C1，C3，C2

6．(2018·广州模拟)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)

A．直线   B．抛物线 

C．椭圆   D．双曲线的一支

7．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．

8．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是______________．

9．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是______________．

10.如图，P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是____________．

11．已知定圆M：(x－3)2＋y2＝16和圆M所在平面内一定点A，点P是圆M上一动点，线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q.

(1)讨论Q点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：

①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．

(2)若定点A(5,0)，试求△QMA的面积的最大值．

12.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足＝.

(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．

13．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)

A．x＋y＝5   B．x2＋y2＝9

C.＋＝1   D．x2＝16y

14．设点P(x，y)是曲线a|x|＋b|y|＝1(a>0，b>0)上的动点，且满足＋≤2，则a＋b的取值范围为(　　)

A．[2，＋∞)   B．[1,2]

C．[1，＋∞)   D．(0,2]

15．已知过点A(－3,0)的直线与x＝3相交于点C，过点B(3，0)的直线与x＝－3相交于点D，若直线CD与圆x2＋y2＝9相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为______________．

16．曲线C是平面内与两个定点F1(－2,0)和F 2(2,0)的距离的积等于常数a2(a2>4)的点的轨迹．给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.

其中，所有正确结论的序号是________．