苏教版 (2019)第3章 不等式3.1 不等式的基本性质获奖课件ppt

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1.能用不等式（组）表示实际问题的不等关系.2.初步学会用作差法比较实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.核心素养：逻辑推理、数学抽象
【情境引入】我们日常生活中经常看到一些路标，那么下列路标表示什么含义？
它们的含义是①最低限速：限制行驶速度不得低于每小时50千米；②限制质量：装载总质量不得超过10 t；③限制高度：装载高度不得超过3.5 m；④限制宽度：装载宽度不得超过3 m.
一、不等关系与不等式1.不等关系的类型在现实世界和日常生活中，存在着大量的相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等，类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等.相等关系用等式表示，不等关系用不等式表示.
【提示】不等关系主要体现在以下四个方面：①常量与常量之间的不等关系，如铁的密度大于水的密度；②变量与常量之间的不等关系，如某卡车的载重量G小于或等于10 t；③函数与函数之间的不等关系，如当x>a时，方案一的费用f（x）小于方案二的费用g（x）；④一组变量之间的不等关系，如买圆珠笔的费用2r与买作业本的费用y的和不超过20元.
2.不等式不等式的概念：用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.如：（1）a大于b表示为a>b；（2）a不超过b表示为a≤b.
【说明】（1）严格不等式：用不等号<，>表示不等关系的式子叫做严格不等式.（2）非严格不等式：用不等号≤，≥表示不等关系的式子叫做非严格不等式.
【注意】用不等式（组）表示不等关系时应注意的问题在用不等式（组）表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个（或几个）量之间不能用不等式（组）来表示.
3.用不等式表示不等关系
【注意】a≤b的含义是ab和a＝b中有一个成立即可.
【提示】用不等式表示实际问题中的不等关系时，首先应读懂题意，设出未知量，寻找不等关系，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组，这是应用不等式（组）解决实际问题的最基本的一步.
【解析】“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以x≥95，y>380，z>45.
二、实数大小比较的依据　1.实数特征（1）任意实数的平方不小于0，即a∈Ra2≥0；（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数.
2.借助数轴比较大小由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B，那么，当点A在点B的左边时，ab.当点A与点B重合时，a＝b.
可以看出a，b之间具有以下性质：
【补充说明】 “”右边的式子反映的是实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.要比较两个实数a，b的大小，只要考察它们的差与0的相对大小就可以，即a-b<0a0a>b.
【解题必备】实数大小比较的两种方法1.由两个实数在数轴上的点的位置关系确定这两个实数之间的大小关系，可看作实数大小比较的几何规则.这个规则尽管直观，但并不实用.2.实数大小比较的代数方法，实质是把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是判断两个实数差的符号，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中.为不等式的论证提供运算工具，也为研究不等式的性质奠定了基础.
示例　当m>1时，m3与m2-m+1的大小关系为　　 　　.
【解析】 ∵ m3-（m2-m+1）＝m3-m2+m-1＝m2（m-1）+（m-1）＝（m-1）（m2+1），又∵ m>1，∴ （m-1）（m2+1）>0.
三、不等式的基本性质　
【性质解读】（1）性质1和性质2分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识.（2）性质3（即可加性）是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据.（3）性质4（即可乘性）在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.（4）性质5（即同向可加性），“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”.（5）性质6（即同向同正可乘性）均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式.（6）性质1和性质3是双向推导，其他是单向推导.
【注意】在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提.例如：（1）在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如a≤b，bbac2>bc2；若无c≠0这个条件，则a>bac2>bc2就是错误结论（因为当c＝0时，ac2＝bc2）.
示例　已知b<2a，3db-3dB.2ac>3bdC.2a+c>b+3dD.2a+3d>b+c
【解析】 由于b<2a，3d 一、用不等式（组）表示不等关系例  1 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍.请写出满足上述所有不等关系的不等式.
【分析】设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，根据题意抽象出x，y满足的条件，写出满足要求的不等式即可.
【类题通法】1.将不等关系表示成不等式的思路（1）读懂题意，找准不等式所联系的量；（2）用适当的不等号连接；（3）多个不等关系用不等式组表示.2.用不等式（组）表示不等关系时应注意的问题在用不等式（组）表示不等关系时，应注意必须具有相同性质，可以进行比较，才可用；没有可比性的两个（或几个）量之间不能用不等式（组）来表示.
 二、数（式）的大小比较例  2 已知x<1，比较x3-1与2x2-2x的大小.
 【分析】采用作差法比较x3-1与2x2-2x的大小.
【分析】由M，N均大于0，利用作商法比较大小.
【类题通法】利用不等式的性质判断正误的两种方法1.直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可.2.特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
【方法技巧】证明简单不等式的方法（1）简单的不等式可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形，完成证明.（2）对于不等号两端都比较复杂的不等式，可考虑用作差法证明，即将不等式两边作差，然后变形，根据已知条件确定每一个因式的符号，再利用实数运算的符号法则判断不等式最终的符号，完成证明.
【方法总结】利用不等式的性质求取值范围的策略1.先建立待求式子与已知不等式的关系，再利用不等式的性质进行运算，确定待求式子的范围.2.只有同向不等式两边才能相加（不等式没有减法运算，例如要求a-b的取值范围，应先求-b的范围，再将a与-b的范围用加法求解），两边都是正数的同向不等式才能相乘（不等式也没有除法运算），要充分利用所给条件进行适当变形来求取值范围，并注意变形的等价性.
五、不等式的实际应用例  7 某地规定民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.
【类题通法】解决决策优化型应用问题的步骤首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个，然后确定在各种决策下该量分别是多少，再用作差法（或其他方法）比较它们的大小即可.