小学数学人教版三年级上册四边形综合训练题

（全国通用）

专题25以四边形为载体的几何综合问题            

【例1】（2022·贵州黔西·中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且．

(1)当时，求证：；

(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，，垂足为K，交AC于点H且．若，，请用含a，b的代数式表示EF的长．

【例2】（2022·辽宁丹东·中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．

(1)如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；

(2)如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；

(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．

【例3】（2022·湖南益阳·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

(1)直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；

(2)若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；

(3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？

【例4】（2022·四川绵阳·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．

(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；

(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

(3)如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．

【例5】（2022·上海·中考真题）平行四边形，若为中点，交于点，连接．

(1)若，

①证明为菱形；

②若，，求的长．

(2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值．

一、解答题【共20题】

1．（2022·山西实验中学模拟预测）综合与实践：

问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：

如图，在正方形中，是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰直角三角形，使得，，且点恰好在射线上．

(1)如图1，当点在对角线上，点在边上时，那么与之间的数量关系是_________；

探索发现：

(2)当点在正方形外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；

问题解决：

(3)如图4，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．

2．（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）（1）如图，在正方形中，是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，并延长交于点求证：；

（2）在（1）的条件下，如图，延长交边于点若，求的值；

（3）如图，四边形为矩形，同样沿着折叠，连接，延长分别交于两点，若，则的值为___________（直接写出结果）

3．（2022·浙江嘉兴·一模）如图1，已知正方形和正方形，点B、C、E在同一直线上，，．连接．

(1)求图1中、的长（用含m的代数式表示）．

(2)如图2，正方形固定不动，将图1中的正方形绕点C逆时针旋转度（），试探究、之间的数量关系，并说明理由．

(3)如图3，在（2）条件下，当点A，F，E在同一直线上时，连接并延长交于点H，若，求m的值．

4．（2022·北京市第十九中学三模）如图，在中，，，是的中点，是延长线上一点，平移到，线段的中垂线与线段的延长线交于点，连接、．

(1)连接，求证：；

(2)依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

5．（2022·浙江绍兴·一模）如图①，在正方形中，点E与点F分别在线段上，且四边形是正方形．

(1)试探究线段与的关系，并说明理由．

(2)如图②若将条件中的四边形与四边形由正方形改为矩形，，．

①线段在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由．

②当为等腰三角形时，求的长．

6．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校三模）如图1，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上点F处，延长交的延长线于点G．

(1)求线段的长；

(2)如图2，M，N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设．

①求证四边形AFGD为菱形；

②是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

7．（2022·福建省福州教育学院附属中学模拟预测）问题发现．

(1)如图，中，，，，点是边上任意一点，则的最小值为______．

(2)如图，矩形中，，，点、点分别在、上，求的最小值．

(3)如图，矩形中，，，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为，连接、，四边形

的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时的长度．若不存在，请说明理由．

8．（2022·广东· 三模）特例发现：

如图1，点E和点F分别为正方形ABCD边BC和边CD上一点，当CE＝CF时，则易得BE＝DF，BE⊥DF．

(1)如图2，点E为正方形ABCD内一点，且∠ECF＝90°，CF＝CE，点E，F在直线CD的两侧，连接EF，BE，DF，探究线段BE与DF之间的关系，并说明理由；

(2)如图3，在矩形ABCD中，AB∶BC＝1∶2，点E在矩形ABCD内部，∠ECF＝90°，点E，F在直线BC的两侧，CE∶CF＝1∶2，连接EF，BE，DE，BF，DF．请探究线段DE，BF之间的关系，并说明理由；

(3)若（2）中矩形ABCD的边AB＝3，Rt△CEF的边CE＝1，当BE＝DF时，求BF的长．

9．（2022·浙江丽水·一模）在菱形中，，，点E在边上，，点P是边上一个动点，连结，将沿翻折得到．

(1)当时，求的度数；

(2)若点F落在对角线上，求证：；

(3)若点P在射线上运动，设直线与直线交于点H，问当为何值时，为直角三角形．

10．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）二模）问题初探：数学兴趣小组在研究四边形的旋转时，遇到了这样的一个问题．如图1，四边形ABCD和BEFG都是正方形，于H，延长HB交CG于点M．通过测量发现CM＝MG．为了证明他们的发现，小亮想到了这样的证明方法：过点C作于点N．他已经证明了，但接下来的证明过程，他有些迷茫了．

(1)请同学们帮小亮将剩余的证明过程补充完整；

(2)深入研究：若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图2所示），且（其中k＞0），请直接写出线段CM、MG的数量关系为______；

(3)拓展应用：在图3中，在和中，，，连接BD、CE，F为BD中点，则AF与CE的数量关系为______．

11．（2022·广东·佛山市华英学校三模）已知，在四边形中，与相交于点，，平分．

(1)如图，求证：四边形是菱形；

(2)如图，过点作于，若，，求的长；

(3)如图，，点为延长线上一点，连接交于点，点、分别是、边上一点，且，过点作的垂线，垂足为，，当，时，求的长．

12．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）在矩形中，，是的中点，点是上一点，连接，过点作交于点，连接．

(1)如图（1），点在上运动时的大小是否改变？请说明理由．

(2)如图（2），连接，若，交于点，，，求的值．

13．（2021·吉林·长春市赫行实验学校二模）阅读理解在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在中，，若点是斜边的中点，则．

灵活应用如图2，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，．

(1)根据题意，则的长为 　　．

(2)判断的形状，并说明理由．

(3)请直接写出的长 　　．

14．（2022·广东·东莞市光明中学三模）中，，，点为直线上一动点点不与，重合，以为边在右侧作菱形，使，连接．

(1)观察猜想：如图，当点在线段上时，

与的位置关系为：______．

，，之间的数量关系为：______；

(2)数学思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

(3)拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，设与相交于点，若已知，，求的长．

15．（2022·福建省福州屏东中学三模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴交轴于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，交轴于点，交轴于点，轴于点，点是抛物线的顶点，已知在点的运动过程中，的最大值是

．

(1)求点的坐标与的值；

(2)当点恰好是的中点时，求点的坐标；

(3)连结，作点关于直线的对称点，当点落在线段上时，则点的坐标为______直接写出答案

16．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）【操作与发现】

如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．

(1)【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．

(2)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求证：M是CD的中点．

(3)【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是______．

17．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．

(1)如图，求证：≌；

(2)直线与相交于点．

如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；

如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．

18．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点、、、分别在正方形的边、、、上．

(1)如图1，当四边形是正方形时，求证：；

(2)如图2，已知，，当、的大小有_________关系时，四边形是矩形；

(3)如图3，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，当的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．

19．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点G．

(1)求证：.

(2)若．

①求菱形的面积.

②求的值.

(3)若，当的大小发生变化时（），在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．

20．（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．

(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．

(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．

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