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高中4.2 平面完美版课件ppt
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这是一份高中4.2 平面完美版课件ppt，共22页。PPT课件主要包含了异面直线等内容，欢迎下载使用。
1.了解空间两条直线的三种位置关系.2.理解异面直线的定义及判定方法.3.掌握三线平行基本事实和等角定理.4.理解两条异面直线所成的角及两条直线互相垂直的概念..核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算
一、空间两条直线的三种位置关系1.异面直线我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.2.空间两条直线的位置关系有且只有以下三种：①相交：在同一个平面内，两条直线有且只有一个公共点；②平行：在同一个平面内，两条直线没有公共点；③异面：两条直线不同在任何一个平面内，没有公共点.
二、基本事实4与等角定理
2.等角定理（1）定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（2）作用：判断与证明两个角相等或互补.
在等角定理中要特别注意角的两条边的方向，它包含以下三种情况：（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补.（2）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等.（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
1.异面直线的画法空间中，两条异面直线既不平行，也不相交.作图时，可借用辅助平面以显示它们不共面的特点.如图.
3.异面直线所成的角（1）定义：对于异面直线a和b，如图4所示，在空间中任取一点P，过P分别作a和b的平行线a′和b′，我们把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角.（2）范围：（0°，90°］. （3）异面直线互相垂直：如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.
（1）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，把空间角问题转化为平面角问题，这是研究立体几何问题的一种基本思想，即空间问题平面化.（2）两异面直线a，b所成角的大小与点P的位置无关.在定义中，空间一点P的位置是任取的，根据“等角定理”，可以判定两异面直线a，b所成角的大小总是等于直线a′与b′所成的角的大小.为了简便，点P常取在两条异面直线中的一条上.
一 基本事实4及等角定理的应用
例1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点. 求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
（1）利用空间平行线的传递性证明a∥b时，先寻找一条直线c，使a∥c，b∥c，进而可得a∥b.（2）依据空间等角定理证明两角相等的步骤：①证明两个角的两边分别对应平行；②判定两个角的两边的方向都相同或者都相反.
如图，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形.
二 异面直线的判定与证明
例 2 如图所示，AB，CD是异面直线，求证：直线AC，BD也是异面直线.
异面直线的判定方法（1）定义法：利用异面直线的定义，说明两直线既不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.（2）定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.（3）反证法：假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后推出矛盾即可.
如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 （填上所有正确答案的序号）.
（1） （2） （3） （4）
三 求异面直线所成的角例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.
求异面直线所成角的步骤（1）“作”，即用“平移法”过空间一点作两条异面直线的平行线，平移过程多用到中位线、平行四边形的性质，操作过程会因选择的构造角度不同出现角的位置不同，常用方法如下：①过一条直线上的点，作另一条直线的平行线.特别是某些特殊点处，例如“端点”或“中点”处.②当异面直线依附于某几何体，且直接过一条直线上的点作另一条直线的平行线有困难时，可利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移，使它们相交于该特殊点.③通过构造辅助平面、辅助几何体（补形平移法——利用已知的图形，补作一个特殊的几何体，以便找到平行线）来平移直线.（2）“证”，即证明所作平面角符合异面直线所成的角或补角的定义.（3）“求”，即通过解三角形，计算所作的角的大小.
1.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则异面直线EF与CD所成的角为 .
2.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 对.
知识清单：（1）空间两直线的三种位置关系：相交、平行、异面.（2）基本事实4和等角定理.（3）异面直线的画法和判定.易错提醒：忽视异面直线所成角的范围而致误.
1.了解空间两条直线的三种位置关系.2.理解异面直线的定义及判定方法.3.掌握三线平行基本事实和等角定理.4.理解两条异面直线所成的角及两条直线互相垂直的概念..核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算
一、空间两条直线的三种位置关系1.异面直线我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.2.空间两条直线的位置关系有且只有以下三种：①相交：在同一个平面内，两条直线有且只有一个公共点；②平行：在同一个平面内，两条直线没有公共点；③异面：两条直线不同在任何一个平面内，没有公共点.
二、基本事实4与等角定理
2.等角定理（1）定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（2）作用：判断与证明两个角相等或互补.
在等角定理中要特别注意角的两条边的方向，它包含以下三种情况：（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补.（2）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等.（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
1.异面直线的画法空间中，两条异面直线既不平行，也不相交.作图时，可借用辅助平面以显示它们不共面的特点.如图.
3.异面直线所成的角（1）定义：对于异面直线a和b，如图4所示，在空间中任取一点P，过P分别作a和b的平行线a′和b′，我们把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角.（2）范围：（0°，90°］. （3）异面直线互相垂直：如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.
（1）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，把空间角问题转化为平面角问题，这是研究立体几何问题的一种基本思想，即空间问题平面化.（2）两异面直线a，b所成角的大小与点P的位置无关.在定义中，空间一点P的位置是任取的，根据“等角定理”，可以判定两异面直线a，b所成角的大小总是等于直线a′与b′所成的角的大小.为了简便，点P常取在两条异面直线中的一条上.
一 基本事实4及等角定理的应用
例1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点. 求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
（1）利用空间平行线的传递性证明a∥b时，先寻找一条直线c，使a∥c，b∥c，进而可得a∥b.（2）依据空间等角定理证明两角相等的步骤：①证明两个角的两边分别对应平行；②判定两个角的两边的方向都相同或者都相反.
如图，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形.
二 异面直线的判定与证明
例 2 如图所示，AB，CD是异面直线，求证：直线AC，BD也是异面直线.
异面直线的判定方法（1）定义法：利用异面直线的定义，说明两直线既不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.（2）定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.（3）反证法：假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后推出矛盾即可.
如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 （填上所有正确答案的序号）.
（1） （2） （3） （4）
三 求异面直线所成的角例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.
求异面直线所成角的步骤（1）“作”，即用“平移法”过空间一点作两条异面直线的平行线，平移过程多用到中位线、平行四边形的性质，操作过程会因选择的构造角度不同出现角的位置不同，常用方法如下：①过一条直线上的点，作另一条直线的平行线.特别是某些特殊点处，例如“端点”或“中点”处.②当异面直线依附于某几何体，且直接过一条直线上的点作另一条直线的平行线有困难时，可利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移，使它们相交于该特殊点.③通过构造辅助平面、辅助几何体（补形平移法——利用已知的图形，补作一个特殊的几何体，以便找到平行线）来平移直线.（2）“证”，即证明所作平面角符合异面直线所成的角或补角的定义.（3）“求”，即通过解三角形，计算所作的角的大小.
1.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则异面直线EF与CD所成的角为 .
2.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 对.
知识清单：（1）空间两直线的三种位置关系：相交、平行、异面.（2）基本事实4和等角定理.（3）异面直线的画法和判定.易错提醒：忽视异面直线所成角的范围而致误.
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