2022-2023学年高三上学期期中数学试题含答案

浙江省嘉兴市第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题

一、选择题

1.已知集合，，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

【分析】解出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】因为，则或，

因此，.故选：B.

2.已知，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

【分析】由已知，先根据给的复数，写出其共轭复数，然后带入要求的式子直接计算即可.

【详解】由已知，，，

所以.故选：D.

3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列为假命题的是（   ）

A.若，，则

B.若，，，则

C.若，，则

D.若，，，则

答案：

C

解析：

【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直的相关命题依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，∵，∴存在直线，使得；

又，∴，∴，A正确；

对于B，∵，∴存在直线，使得，

又，∴，∴，B正确；

对于C，若，，则或，C错误；

对于D，∵，，∴，又，∴，D正确.故选：C.

4.已知，则“”是“恒成立”的（   ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：

B

解析：

【分析】令函数，得，然后转化为一个恒成立的判断，再结合充分不必要条件的定义进行判断即可.

【详解】函数的值域为，则当时，不恒成立.若恒成立，则说明小于函数的最小值，即.故“”是“恒成立”的必要不充分条件.故选B.

5.若是圆：上任意一点，则点到直线的距离不可能是（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

【分析】根据题意作出示意图，判断出直线过定点，进而求出圆心到直线距离的最大值，然后判断各个答案.

【详解】如图，圆：的圆心坐标为，半径为，直线过定点.由图可知，圆心到直线距离的最大值为，则点到直线距离的最大值为；当直线与圆有公共点时，点到直线距离的最小值为.即距离的范围是.故选：D.

6.已知数列的前项和为，且满足，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

【分析】利用与关系求得通项关系，判断数列为等比数列即可求得.

【详解】当时，，∴，当时，，

两式相减可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴.故选：D.

7.若函数在处取得极值，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

【分析】求导，根据处的极值为，列方程解方程得到，，即可得到.

【详解】∵，∴，

又函数在处取得极值，

则，且，

所以，，经检验满足要求，所以.故选：A.

8.若，，且，则的最小值为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，由，且，结合基本不等式可求出的最小值，进而可求出的最小值.

【详解】设，则，且，

题目转化为已知，求的最小值，

，

而，

当且仅当，即时等式成立.

则.故选：C.

二、多选题

9.已知平面直角坐标系中四点、、、，为坐标原点，则下列叙述正确的是（   ）

A.

B.若，则

C.当时，、、三点共线

D.若与的夹角为锐角，则

答案：

A、B

解析：

【分析】利用平面向量的坐标运算可判断A选项；利用平面向量共线的坐标表示可判断BC选项；利用平面向量数量积的坐标运算与共线的坐标表示可判断D选项.

【详解】对于A选项，，A对；

对于B选项，，，由题意可得，B对；

对于C选项，当时，，

而，显然与不是共线向量，此时，、、三点不共线，C错；

对于D选项，，，

由已知且、不共线，则，解得且，D错.故选：AB.

10.直线与抛物线相交于，，若，则（   ）

A.直线斜率为定值

B.直线经过定点

C.面积最小值为

D.

答案：

B、C、D

解析：

【分析】由数量积的坐标表示结合抛物线方程得出，联立直线和抛物线方程，由韦达定理得出直线经过定点，再由判别式判断A，由面积公式结合不等式的性质判断C.

【详解】，因为，所以，即，，又，所以，故D正确；

设直线，由得，即，，即直线过定点，故B正确；又，则，故A错误；

，当时，面积取最小值，故C正确.故选：BCD

11.在棱长为的正方体中，点是的中点，点，，在底面四边形内（包括边界），平面，，点到平面的距离等于它到点的距离，则（   ）

A.点的轨迹的长度为

B.点的轨迹的长度为

C.长度的最小值为

D.长度的最小值为

答案：

B、C、D

解析：

【分析】对于A，取的中点，连接，，根据面面平行的判定可证得平面平面，从而得点的轨迹为线段，解三角形计算可判断；对于B，连接，由勾股定理得，从而有点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，由圆的周长计算可判断；对于C，过点D作于，交点的轨迹于，此时的长度就是长度的最小值，由三角形相似计算得，由此可判断；对于D，由已知得点到直线的距离等于它到点的距离，根据抛物线的定义知点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线，以的中点为坐标原点，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的方程为，设与直线平行且与抛物线相切的直线的方程为：，联立，整理得，由，解得，再根据平行线间的距离可求得PR长度的最小值.

【详解】对于A，取的中点，连接，，则，，所以平面，平面，又平面，平面，，所以平面平面，又点在底面四边形内（包括边界），平面，所以点的轨迹为线段，因为，所以点的轨迹的长度为，故A不正确；

对于B，连接，因为在底面上，，

所以，解得，

所以点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，如下图所示，

所以点的轨迹的长度为，故B正确；

对于C，过点作于，交点的轨迹于，此时的长度就是长度的最小值，而，所以，所以，即，解得，所以，

所以长度的最小值为，故C正确；

，

对于D，因为点到平面的距离等于它到点的距离，由正方体的特点得点到直线的距离等于点到平面的距离，所以点到直线的距离等于它到点的距离，根据抛物线的定义知点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线，

以的中点为坐标原点，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示，则，，，

直线的方程为，直线的方程为，

则抛物线的方程为，设与直线平行且与抛物线相切的直线的方程为：，联立，整理得，，解得，所以直线的方程为：，

则直线与直线的距离为：，

所以长度的最小值为，故D正确，故选：BCD.

12.若对任意，不等式恒成立，则实数可能为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A、B、C

解析：

【分析】依题意可得对任意的恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到只需对任意的恒成立，令，则，再构造函数，，利用导数求出函数的最小值，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解.

【详解】依题意，对任意，恒成立，

即恒成立，即恒成立，即恒成立，

设，，则恒成立，所以在上单调递增，所以只需对任意的恒成立，

因为，令，则，即，

令，，则，

所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以，所以，所以.故选：ABC.

三、填空题

13.函数在区间上的值域是________.

答案：

解析：

【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质即得函数值域.

【详解】当时，，

∴，故，

即的值域为.故答案为：.

14.已知的展开式中的系数是，则实数______.

答案：

解析：

【分析】根据多项式中前一项进行展开，然后用二项式定理将两个项中关于的找出相加等于即可求出.

【详解】由题知，，

所以展开式中系数是，

解得：.故答案为：.

15.在四面体中，，，且，，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积为________.

答案：

或

解析：

【分析】由题意将四面体补成一个直三棱柱，由此可求出外接球的半径，求得答案.

【详解】由题意可以将四面体补成一个如图所示的直三棱柱，

因为异面直线，所成角为，所以或，

设的外接圆半径为，当时，，

当时，，则，

设四面体的外接球半径为，则，

所以该四面体外接球的半径或，则外接球的表面积为.或，

故答案为：或.

16.设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为________.

答案：

解析：

【分析】令，则目标式可改写为，应用放缩、绝对值的性质、辅助角公式及正弦函数的性质求最小值，注意等号成立的条件.

【详解】设且，

∴，

当且仅当且时等号成立.故答案为：.

四、解答题

17.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）结合，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；（2）利用正弦定理，辅助角公式可化简，结合的范围即得解

【详解】（1）∵，∴，∴，

∴，∴，∴，

又为锐角，∴.

（2）由正弦定理，，

，由锐角，故，

故.

18.已知数列中，，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前项和.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）利用题意可得到，则能得到，即可得到答案；（2）利用（1）算出，继而得到，接着利用裂项相消法即可得到答案.

【详解】（1）∵，

可得，∴是公差为的等差数列，

∴，；

（2）由（1）可得，∴，

∴.

19.已知正三棱柱中，.是棱上一点.

（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若是中点，求点到平面的距离.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）在侧面内作，交棱于点，证明为所求线面角，结合余弦定理计算即可求解；

（2）在中，由余弦定理可得，从而，所以，利用等体积转化计算即可求解.

【详解】（1）在侧面内作，交棱于点.

因是正三棱柱，故平面，从而平面.

连接，则为所求线面角，

另一方面，由且得，

故在中，由余弦定理得，，

因为平面，而在平面内，

所以.于是，

故直线与平面所成角的正弦值为.

（2）设所求距离为，则，

而，

故.由题意得，，，

故在中，由余弦定理得，

从而，因此，，

故点到平面的距离.

20.根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量（单位：千吨）与年份的散点图如下：

记年份代码为（，，，，），，对数据处理后得：

（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个适宜作为关于的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到整数）.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）可根据散点图判断出非线性回归方程模型.

（2）根据表中数据和参考数据代入公式求出回归方程，并可预测年全国直排海污染物中的氨氮总量.

【详解】（1）根据散点图的趋势，可知模型②适宜作为关于的回归方程.

（2），.故关于的回归方程为，即关于的回归方程为，年对应的年份代码为，，故预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为吨.

21.已知双曲线（，），为坐标原点，离心率，点在双曲线上.

（1）求双曲线的方程；

（2）如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，且，求的最小值.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）由条件可知，再代入点求双曲线方程；（2）设直线的方程为，则直线的方程为，与双曲线方程联立，求点的坐标，并求，再将换为求，利用是定值，求的最小值再表示

【详解】（1）因为，所以，.

所以双曲线的方程为，即.

因为点在双曲线上，所以，所以.

所以所求双曲线的方程为.

（2）设直线的方程为，则直线的方程为，

由，得，所以.

同理可得，，

所以.

设，则，

所以，即，当且仅当时取等号.

所以当时，取得最小值.

22.已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若有两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数的取值范围.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线的点斜式方程，可得答案；

（2）由极值点的必要条件，得到参数与极值点之间的等量关系，化简整理并整体还原，可得一元不等式，利用导数证明不等式恒成立，可得答案.

【详解】（1）若，则，

，

则切线的斜率为，又，

所以曲线在点处的切线方程是，即.

（2），由条件知，是方程的两个根，所以，则.

所以.

设，可知的取值范围是，则，

不等式恒成立，等价于恒成立.

设，则恒成立，

.

（i）若，则，所以，在上单调递增，

所以恒成立，所以符合题意；

（ii）若，令，得，令，得

则在上单调递增，在上单调递减，

所以当的取值范围是时，，不满足恒成立.

综上，实数的取值范围是.