2023届湖南省长沙市一中等名校联考联合体高三上学期11月联考数学试题含答案

  名校联考联合体2022年秋季高三11月联考

数学

一､选择题

1.已知（为虚数单位），则的虚部为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

因为，所以，

虚部为.故选D.

2.已知集合，，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

因为，

或，

所以.故选A.

3.已知，，，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

因为，又，

所以.故选C.

4.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，若球与圆柱的体积之比为，则抛物线的准线方程为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高.

则球的体积，圆柱的体积，

∴.所以，

则其准线方程为，故选B.

5.已知，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

依题意，，

，

.故选B.

6.已知，设，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

因为，所以由组合数的性质得，

所以，令，

得，即.

令，得，

所以，故选D.

7.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，又双曲线与直线交于，两点，点为右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，曲线的左､右焦点分别为，.若，则下列说法正确的是（   ）

A.

B.双曲线的渐近线方程为

C.若，则的面积为

D.双曲线的离心率为

答案：

C

解析：

因为双曲线的焦点到渐近线的距离为，则，

所以双曲线方程为，由可得，

设，，则，即，

∴，设，则，，

所以，即，

又，，，

所以，

∴，即，故A错误；所以双曲线，，，

双曲线的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D错误；

若，

则，

所以，的面积为，故C正确.故选C.

8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

由，得，又，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则；①

由得，，又，

所以数列是常数列，则，②

由①②联立可得.

因为，所以，

即，所以，

故，

所以，

则.故选A.

二､多选题

9.某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在分至分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（   ）

A.在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有人

B.图中的值为

C.估计全校学生成绩的中位数约为

D.估计全校学生成绩的分位数为

答案：

A、C、D

解析：

由题意，成绩在区间内的学生人数为，

故A正确；由，得，故B错误；

设中位数为，则，

得，故C正确；

低于分的频率为，设样本数据的分位数为，

则，解得，故D正确.故选ACD.

10.已知函数，则下列结论正确的是（   ）

A.的图像关于点对称

B.在上的值域为

C.若，则，

D.将的图像向右平移个单位长度得的图像

答案：

B、D

解析：

由题得，

，

令，则，，故A错误；

当时，，，故B正确；

因为的周期，所以若，

则，，故C错误；

将的图象向右平移个单位长度得

的图象，故D正确.故选BD.

11.已知函数，则下列结论正确的是（   ）

A.函数在上不具有单调性

B.不是周期函数

C.函数为偶函数

D.当时，函数的最小值是

答案：

C、D

解析：

对于A，当时，在上为增函数，

当时，在上为减函数，A错误；

对于B，定义域是，，

因此是函数的一个周期，B错误；对于C，由得，

函数定义域是，关于原点对称，

，，

∴，所以函数为偶函数，C正确；

对于D，当时，

故在上为减函数，在上为增函数，

∴当时，取得最小值，D正确.

12.如图，在直角梯形中，，，，将沿翻折，得到大小为的二面角，，分别是，的中点.则（   ）

A.

B.异面直线与所成角的正弦值为

C.二面角的大小为

D.三棱锥的表面积为

答案：

A、C、D

解析：

由题意知，，，，取的中点，

连接，，因为，，分别为，的中点，

所以，，又，所以，如图，以为轴，

为轴，建立空间直角坐标系，则，，

，，，，

，，

所以，

所以，故A正确；由，，

设异面直线与所成的角为，

则，，

故B错误；设平面的一个法向量为，

又，，

由得令，得，，

则，又易知平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，则，

又易知二面角为锐角，故，，故C正确；

由，，，则为等腰三角形，

所以，

又，，在中，由余弦定理得，

，

，

所以，

又，，

所以三棱锥的表面积为

，

故D正确，故选ACD.

三､填空题

13.如图，四边形是边长为的正方形，若，且为的中点，则        .

答案：

解析：

以为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，.则，，

所以.

14.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则        .

答案：

解析：

由切点，，则在点处的切线方程为，

即；

由切点，，则在点处的切线方程为，

即，由题知：两条直线是同一条直线，

则：化简得：.∴.

15.设抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，直线与相交于点.若，且的面积为，则直线的斜率        ，抛物线的方程为        .

答案：

解析：

如图所示，，.所以.

∵轴，，，∴，

所以四边形为平行四边形，

∴，.∴，解得，

代入可取，∴，

解得.∴，∴.

16.已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是        .

答案：

解析：

已知，

，则，

故函数在定义域内为非奇非偶函数，令，

则，则在定义域内为奇函数，

设的最大值为，则最小值为，则的最大值为，

最小值为，则，∴，

，

∴当时，，∴关于中心对称.

四､解答题

17.已知内角，，的对边分别为，，，若.

（1）求；

（2）若，且的面积为，求的周长.

答案：

见解析

解析：

（1），

因为，所以，所以，.

（2）因为的面积为，所以，解得，

由余弦定理得，解得，

所以的周长为.

18.已知等差数列的前项和为，公差不等于零，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证（且）.

答案：

见解析

解析：

（1）易得所以，所以.

（2）由题意，，故，

又对且时，，

∴

得证.

19.如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点，作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点.

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.

答案：

见解析

解析：

（1）由题设，底面圆，又是切线与圆的切点，

∴底面圆，则，

且，而，∴平面.

又平面，∴平面平面.

（2）设，如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，又，可得，

∴，，，，

所以，，，

若是平面的一个法向量，则令，

则，由于直线与平面所成角的正弦值为，

∴，

解得或.由题知，为与平面的交点，

故点到平面的距离为点到平面的距离的倍，

又平面平面，

所以点到平面的距离就是点到直线的距离，

在中，，，故点到直线的距离为，

则点到平面的距离为，

∴点到平面的距离为或.

20.年卡塔尔世界杯将于当地时间月日开赛，某国家队为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：

（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？

（2）根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋､中场､后卫三个位置，且出场率分别为：，，；在甲出任前锋､中场､后卫的条件下，球队输球的概率依次为：，，，则：

①当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率；

②当甲参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当中场的概率；

③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？

附表及公式：

.

答案：

见解析

解析：

（1）依题意，，，，，，

零假设为：球队胜利与甲球员参赛无关，

则观测值，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过.

（2）①设表示“甲球员担当前锋”；表示“甲球员担当中场”；

表示“甲球员担当后卫”；表示“球队输掉某场比赛"，

有，，，

，，则

，所以该球队某场比赛输球的概率是.

②由①知，球队输的条件下，甲球员担当中场的概率

.

③由①知，球队输的条件下，甲球员担当前锋的概率

，

球队输的条件下，甲球员担当后卫的概率，

由②知，，

所以，应该多让甲球员担任前锋.

21.已知函数，，

（1）求和的极值；

（2）证明：.

答案：

见解析

解析：

（1）因为，，所以，，

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

所以当时，取得极大值，无极小值；

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

当时，有极大值，无极小值.

（2）令，

则，

令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，

又，，

所以存在，使得，即，

所以时，，，单调递减，

时，，，单调递增，

，

令，则在上恒成立，

所以在上单调递减，所以，

所以，所以.

22.设椭圆的左､右焦点分别为，.，是该椭圆的下顶点和右顶点，且，若该椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过点的直线交椭圆于，两点（点在点下方），过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，求证：为定值.

答案：

见解析

解析：

（1）由题可得，，所以，

因为椭圆的离心率为，所以，

结合椭圆中可知，，.

所以椭圆的标准方程为.

（2）依题意作右图：设，，直线的方程为，

将点代入得：，∴直线.

由于椭圆，∴，，

联立方程得，

由，得，，，

直线的方程为：，

直线的方程为：，，，

运用①

易证得：，②

下面证明②：

，

运用①中的韦达定理：

，

即②成立，∴，

即点和的纵坐标之和等于点纵坐标的倍，

∴点是线段的中点，即，综上，，故为定值.