2023届江西省上高二中高三上学期第四次月考数学（理）试题含解析

2023届江西省上高二中高三上学期第四次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出复数，从而求出复数的共轭复数，即可判断；

【详解】由已知，得，所以，则对应的点为，在第二象限.

故选：B.

2．数列中，，，若，则（    ）

A．10 B．9 C．11 D．8

【答案】B

【分析】根据递推关系求得，由此列方程求得.

【详解】，

令，则，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，

由得.

故选：B

3．已知向量，，，，则（    ）

A． B．4

C． D．

【答案】A

【分析】由向量的平行和数量积关系求出，再由模长公式即可求解

【详解】因为，所以，又，

所以，，．

故选：A

4．下列叙述中，错误的是（    ）

A．命题“ ， ”的否定是“ ，

B．命题“若 ， 则 ”的逆否命题是真命题

C．已知 ， 则“ ”是“ ”的必要不充分条件

D．函数 是增函数

【答案】D

【分析】根据存在命题的否定是全称命题可判断A；根据逆否命题与原命题是等价命题可判断B；利用充分条件、必要条件的定义判断即可判断C；根据正切函数的单调性可判断D.

【详解】对于A，命题“ ， ”的否定是“ ，，故A正确；

对于B，命题“若，则”是真命题，则其逆否命题是真命题，故B正确；

对于C，当时，函数在上单调递增，若，则，

反之，若，当时，a，b可以都为负数，即不一定成立，

所以“”是“”的必要不充分条件， C正确；

对于D，函数的单调递增区间是，对于，函数在每一个区间内是单调递增函数，而在整个定义域不具备单调性，故D错误.

故选：D.

5．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，若图中角满足，则该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得，，不妨取正方形边长为5，求出两个正方形的面积即可.

【详解】如图，因为，，

所以，，不妨取正方形边长为5，

则四个全等的直角三角形的直角边长分别为3和4，

易得，

所以，

故选:C.

6．函数在处的切线如图所示，则（    ）

A．0 B． C． D．-

【答案】A

【分析】根据切线过和，利用斜率公式求得，写出切线方程，再令，求得即可.

【详解】因为切线过和，所以，

所以切线方程为，

令，则，

所以，

所以.

故选：A.

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

7．设函数，=（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】C

【分析】根据分段函数解析式、对数运算求得正确答案.

【详解】，

，

，

所以.

故选：C

8．若函数的值域为，则实数的值可以是（    ）

A． B． C． D．-2

【答案】C

【分析】由题意得到可以取遍任意正实数，然后由其最小值小于等于零求解.

【详解】解：因为函数的值域为，

所以可以取遍任意正实数，

又，

当且仅当，即时，等号成立，则，解得，

所以则实数的值可以是.

故选：C

9．己知，，若时，关于x的不等式恒成立，则实数的最小值是（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】设，，由一次函数以及不等式分析变形后代入，然后利用基本不等式求解.

【详解】解：设，，

因为，所以当时，，

当时，，

根据不等式，可知或

对于，必有，即，

则当时，，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故选：D.

10．已知函数，且，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.

【详解】解：令，则，

因为，，

∴为奇函数，

又因为，由函数单调性可知为的增函数，

∵，则，

∴，

，

∴，解得.

故选：A.

11．函数的部分图象如图所示，若把的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则m的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据图像求出参数值，进而得到和的解析式，然后根据图像的平移求解出含有m的的解析式，根据诱导公式求解m取值，结合选项确定答案.

【详解】由图可知，，因为图像过，，所以，

解得，则，

根据图像可知且，解得，

所以，；

把的图象向左平移个单位长度后得到函数，

根据诱导公式可得，

解得，当时，.

故选：C.

12．已知偶函数满足且，当时,，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断f（x）在（0，8）上的单调性，根据对称性得出不等式在一个周期（0，8）内有4个整数解，再根据对称性得出不等式在（0，4）上有2个整数解，从而得出a的范围．

【详解】当0＜x≤4时，f′（x）=，

令f′（x）=0得x=，

∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，4）上单调递减，

∵f（x）是偶函数，

∴f（x+4）=f（4﹣x）=f（x﹣4），

∴f（x）的周期为8，

∵f（x）是偶函数，且不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有200个整数解，

∴不等式在（0，200）内有100个整数解，

∵f（x）在（0，200）内有25个周期，

∴f（x）在一个周期（0，8）内有4个整数解，

（1）若a＞0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，

显然f（x）＞0在一个周期（0，8）内有7个整数解，不符合题意；

（2）若a＜0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞﹣a，

显然f（x）＜0在区间（0，8）上无解，

∴f（x）＞﹣a在（0，8）上有4个整数解，

∵f（x）在（0，8）上关于直线x=4对称，

∴f（x）在（0，4）上有2个整数解，

∵f（1）=ln2，f（2）==ln2，f（3）=，

∴f（x）＞﹣a在（0，4）上的整数解为x=1，x=2．

∴≤﹣a＜ln2，

解得﹣ln2＜a≤﹣．

故答案为：D

【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是分析出函数f(x)的周期性和对称性，f（x）在一个周期（0，8）内有4个整数解.其二是对a分类讨论，得到a的取值范围.

二、填空题

13．已知幂函数在上单调递减，则___________.

【答案】

【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．

【详解】由题意，解得或，

若，则函数为，在上递增，不合题意．

若，则函数为，满足题意．

故答案为：．

14．在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.

【答案】

【分析】由，得，再利用累乘法即可得出答案.

【详解】解：由，得，

则，

，

，

，

累乘得，

所以.

故答案为：.

15．已知点P为正ABC边上或内部的一点，且实数x，y满足，则x﹣y的取值范围是 __．

【答案】[﹣，1]．

【详解】利用平面向量基本定理，结合特殊点的位置P与点B重合以及P与点C重合时对应的x、y值，即可求出x﹣y的取值范围．

【解答】解：∵P是三角形ABC内（含边界）的一点，且向量足，

∴当P点在BC上时，x+2y＝1，

特别地，当点P与点B重合时有x＝1，2y＝0，即x＝1，y＝0；

当点P与点C重合时有x＝0，2y＝1，即x＝0，y＝；

又点P在三角形ABC内（含边界），

∴0≤x+2y≤1，0≤x≤1，0≤2y≤1，画出可行域，如图所示：

令，平移直线，

当经过点时，t最大，最大值为1，

当经过点时，t最小，最小值为，

∴﹣≤x﹣y≤1，

即x﹣y的取值范围是[﹣，1]．

故答案为：[﹣，1]．

16．若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________

【答案】

【分析】由题意得到有两个不等的零点，且在两零点的两侧，导函数符号相反，参变分离后构造，求导研究其单调性和极值，最值情况，画出图象，数形结合求出的取值范围.

【详解】由，得，

∵函数有两个极值点，

∴有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反，

令，，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

有极小值也是最小值为，

且当时，恒成立，当时，恒成立，

画出的图象，如下：

要使有两个不等实数根，

则，即，经验证，满足要求.

故的取值范围为．

故答案为：.

三、解答题

17．已知中，角的对边分别为，，.

(1)求的值；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）由正弦定理得到，结合，，得到；

（2）根据第一问求出，结合，求出，由正弦定理得到，再由三角形面积公式和二倍角公式，诱导公式求出答案.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得：，

，

，又，

∵，

故；

（2）因为，所以，

由（1）知：，

又因为，

解得：，

又，则由正弦定理，

，又

.

18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注.一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果.下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.

（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；

（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）.

参考附表：

参考公式，其中.

【答案】（Ⅰ）有把握，理由见解析；（Ⅱ）分布列见解析，.

【分析】（Ⅰ）根据题中所给的公式求出的值，然后根据参考附表进行判断即可；

（Ⅱ）由题意可以求出在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率，成绩不优秀的概率，可以判断可取值为0，1，2，3，根据二项分布的性质进行求解即可.

【详解】（Ⅰ）由题意知，的观测值.

所以有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”.

（Ⅱ）由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为，成绩不优秀的概率为，

可取值为0，1，2，3.

所以的分布列为

，.

【点睛】本题考查了的计算，考查了二项分布的性质应用，考查了离散型随机变量分布列和数学期望，考查了数学运算能力.

19．在中，，，分别上的点且，，将沿折起到的位置，使．

(1)求证：；

(2)是否在射线上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，DM=2或12．

【分析】（1）先证明出平面，从而得到，结合，得到平面，从而证明出；

（2）建立空间直角坐标系，设，分与两种情况，求出两平面的法向量，从而列出方程，求出或，得到的长度.

【详解】（1）证明：，平面，

平面，

∵平面，

，

又，平面，

平面，

∵平面，

∴；

（2）由题意，两两垂直，以C为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

因为，，

易得，

设，则，

当时，两点重合，平面的法向量为，

设平面的一个法向量为，且，，

故，不妨取，得，则，

设平面与平面所成角为，

则，不合题意，舍去；

故，

设平面的一个法向量为，且，

故，不妨取，解得．

故

化简可得，解得：或，

因为，所以或12．

20．已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）由轴，结合勾股定理可得，从而可求出，，则可知，结合，可求出，即可求出椭圆的标准方程.

（2）设，，，与椭圆方程联立，可得，，从而可用 表示出，用内切圆半径表示出，即可知，结合基本不等式，可求出当半径取最大时， 的值，从而可求出直线的方程.

【详解】解：（1）因为轴，所以，则，

由，，解得，，，

由椭圆的定义知， ，即，

椭圆的标准方程为.

（2）要使的内切圆的面积最大，需且仅需其的内切圆的半径最大.

因为，，设，，易知，直线l的斜率不为0，

设直线，联立，整理得，

故，；

所以

，

又，

故，即，；

当且仅当，即时等号成立，此时内切圆半径取最大值为，

直线l的方程为或.

【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆内三角形周长的求解，考查了三角形的面积公式，考查了直线与椭圆的位置关系.本题的关键是用内切圆半径表示出三角形的面积.本题的难点是计算化简.

21．已知，．

（1）求的单调区间；

（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【分析】（1）直接求导，可得极值点，根据定义域即可得解；

（2）由，求导可得，由可得，

考查函数，求导可知为增函数，而时，，，故存在使得，解不等式即可得解.

【详解】（1）由题意可得，

求导可得，

可得或（舍），

当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

所以单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）（），

，

由可得，

考查函数，由可得，

所以在上为增函数，

而时，，，

故存在使得，

所以，，为减函数，

当，为增函数，

所以恒成立只要，

由可得，，    

，

由，所以，解得，

所以的取值范围为.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了恒成立思想和转化思想，有一定的计算量，属于较难题.本题的关键点有：

（1）掌握导数的运算及其应用；

（2）掌握虚设零点问题的转化代入.

22．在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为,曲线的极坐标方程为;

(1)求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程;

(2)若直线与曲线交点分别为,点,求的值.

【答案】①,曲线,②.

【详解】(1)两式相加可得，,

利用互化公式可得，曲线,

(2)直线过点且参数方程可表示为（为参数）

代入曲线C,得,

.

23．己知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若对于任意，都有，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】（1）分，，三种情况打开绝对值，求解即可；

（2）打开绝对值，将函数写成分段函数，结合单调性求解即可

【详解】（1）

当时，，解得，

当时，，解得，

当时，，解得，

所以不等式的解集为．

（2）因为，

故

所以

所以函数在上递减，在上递增，

所以函数在上的最小值为．

所以，

即

解得或．