华大新高考联盟2023届高三11月教学质量测评数学高三上学期l理科模拟考试

一、选择题

1.若集合，，则（   ）

A.

B.或

C.

D.

答案：

C

解析：

依题意，，故，故选C.

2.已知复数，现有如下说法：①；②复数的实部为正数；③复数的虚部为正数，则正确说法的个数为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

依题意，，故①正确；复数的实部为，为正数，故②正确；复数的虚部为，为负数，故③错误.故选B.

3.眼睛是心灵的窗户，然而随着网络、手机、平板电脑等电子产品的普及，越来越多的青少年的视力情况堪扰，因此，为了唤醒大家对视力损害的重视，每年的月日被定为全国爱眼日，每年月的第二个星期四被定为世界爱眼日.某小学为了了解在校学生的视力情况，对所有在校学生的视力进行检测，所得数据统计如右图所示，则该小学所有学生视力的中位数约为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

由题图可知，前个小矩形的面积分别为，，，，，

故所求中位数为，故选D.

4.已知，，是三条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ）

A.若，.则

B.若，，，，则.

C.若，，，则

D若，，，，则

答案：

D

解析：

A中，可能有，，与相交但不垂直；B中，与可能相交；

C中，可能有，，与相交但不垂直；

D中，根据，知，又，，故，则，故D正确.故选D.

5.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将，，，…，填入的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于，便得到一个阶幻方.一般地.将连续的正整数，，，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作阶幻方.记阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么阶幻方每行、每列，每条对角线上的数的和均为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

依题意，，故阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，故选C.

6.已知函数，则曲线在处的切线斜率为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

依题意，，令，故，解得，

故，故选D.

7.已知抛物线的焦点到准线的距离为，点，在抛物线上，若，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

依题意，，而，，故，

即，则，故，故选A.

8.已知函数的部分图象如图所示.其中，，.将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的单调递减区间为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

依题意，，故，，故，

而，

则.因为，故，所以.因，故，解得，故.

将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，

得到，再向左平移个单位长度，

得到，

令，

解得，故选D.

9.已知等腰直角的三个顶点在球的表面上，且，连接并延长交球的表面于点，连接，.若球的体积为，则直线，所成角的正切值为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

作出图形如右所示.依题意，，；，

解得；，解得；

过点作，且，连接，，则直线，所成的角即为，注意到，而，

故，故选C.

10.已知函数在上有个零点，则实数的取值范围为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

显然，否则不合题意.令，即.

可知当时，与有个交点；

当时，与有个交点.

联立，得，则，解得，故选C.

11.已知数列的前项和为，且，记事件为“从数列的前项中任取两项，两项均为负数”，为事件发生的概率，现有如下说法：

①；②；③.则正确说法的个数为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

依题意，当时，，解得；当时，，

，两式相减可得，

化简得，故，，故，

则，故①正确；，，可知，

要证，即证，即证，

这显然成立，故②正确；

，故，

则，要证，

即证，即证，这显然错误，

故③错误.故选C.

12.已知椭圆的右焦点为，以椭圆的长轴为直径作圆，过点作不与坐标轴垂直的两条直线，，其中与椭圆交于，两点，与圆交于，两点，若，且都有，则实数的取值范围为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

依题意，，圆.设直线，

，则点到直线的距离，

故.将代入中，

整理可得.

设，，则，，

，

故，

令，则，

则，所以在上单调递减，故，

故实数的取值范围为，故选B.

二、填空题

13.已知圆锥的轴截面是面积为的三角形，若圆锥的侧面积为，则圆锥的体积为        .

答案：

解析：

依题意有，解得，则.

14.若，则        .

答案：

解析：

依题意，；而，则；

因为函数在定义域内单调递增，故，故，

则，故.

15.“康威圆定理”是英国数学家约翰▪康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，（即，，），延长线段至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六点共圆，此圆称为康威圆.若，，，则往此康威圆内投掷一点，该点落在内的概率为        .

答案：

解析：

在中，由余弦定理，，

得，故，则为直角三角形，

故的面积；易知的康威圆圆心即为的内心.

如图，取的中点，连接，，，

则，故所求概率.

16.已知，为两个相互垂直的单位向量，，则的最小值为        .

答案：

解析：

不妨设，，，故，故，

；

而，故

，当且仅当

或时，等号成立，即的最小值为.

三、解答题

17.已知在平面四边形中，，，连接.

（1）若的面积为，求的周长；

（2）若，，求和.

答案：

见解析

解析：

（1）依题意，，，作出图形如下.

因为，解得，

在中，，

解得，故的周长为.

（2）因为，，

故，，

解得，，

故，

在中，，解得，

在中，，

即，

解得，故.

18.随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支付方式也带来了一些安全性问题.为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态度，研究人员随机抽取了人，并将所得结果统计如下表所示.

（1）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与所持态度具有相关性；

（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在周岁以上（含周岁）的人中随机抽取人，记为人中持支持态度的人数，求的分布列以及数学期望；

（3）已知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数与第天之间的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘法求与的回归直线方程.

参考数据：，.

参考公式：，，.

答案：

见解析

解析：

（1）完成列联表如下：

故本次实验中的观测值

，

故有的把握认为年龄与所持态度具有相关性.

（2）依题意，，

故，，

，，

；故的分布列为：

故.

（3）依题意，，，

，

所以，

故关于的线性回归方程是.

19.如图所示，直三棱柱中，，点为线段，的交点，点，分别为线段，的中点，延长至点，使得，连接，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若点在平面内的投影恰好为的重心，，求直线与平面所成角的正弦值.

答案：

见解析

解析：

（1）如图，连接.

因为，，故，

而，故四边形为平行四边形，则，

因为平面，平面，故平面；

同理可证，平面.

因为，平面，平面，

故平面平面.

（2）在直三棱柱中，因为，，

故为等腰直角三角形，，故以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，的重心为，

则，，，，，

，，因为平面，

所以有，故.

设平面的法向量，则，取，

得，故直线与平面所成角的正弦值.

20.已知双曲线与轴的正半轴交于点，动直线与双曲线交于，两点，当过双曲线的右焦点且垂直于轴时，，为坐标原点.

（1）求双曲线的方程；

（2）若，求点到直线距离的最大值.

答案：

见解析

解析：

（1）依题意，，因为轴，且过点，

记，.故，即，

解得，故双曲线的方程为.

（2）①若动直线的斜率不存在，则设，

代入双曲线方程可得，，

由得，可得，

解得或（舍去），此时点到的距离为.

②若动直线的斜率存在，则可设，，直线，

代入双曲线方程可得，且，

则且.则，.

由知.

由可知，

化简可得，

将，代入，化简可得.

或都满足.若，则直线经过右顶点，舍去；

故，即直线经过定点，则.

综上①②，的最大值为.

21.已知函数在处取到极值.

（1）求的值以及函数的单调递减区间；

（2）若，且，试比较与的大小关系，并说明理由.

答案：

见解析

解析：

（1）依题意，，故，解得，

故.

令，故，故函数在上单调递减，

而，故当时，，；

当时，，，故函数的单调递减区间为.

（2）结论：，下面给出证明.

由（1）可知，令.

而，整理得，

故.

由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

故，一正一负，不妨设，令，

注意到，故，令，

则，当时，显然恒成立，所以.

又在上恒成立，所以时，，

所以.因为，所以，即.

因为，所以.

因为，且函数在上单调递减，所以，即.

四、选做题（2选1）

22.已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的极坐标方程以及曲线的参数方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，求的值.

答案：

见解析

解析：

（1）依题意，直线，故直线的极坐标方程为.

而曲线，即，

即，即，

故曲线的参数方程为（为参数）.

（2）设直线的参数方程为（为参数），

代入，得.

设，对应的参数分别为，，故，，

故.

23.已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若正数，满足，求证：，.

答案：

见解析

解析：

（1）依题意，，

当时，，解得，故；

当时，，解得，故；

当时，，解得，故.

综上所述，不等式的解集为或.

（2）要证，

即证.因为，故，

则，

当且仅当，即，时等号成立.

而

，

故，.

即