2023届广西北海市高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题含答案

  2023届北海市高三第一次模拟考试

数学（文科）

一、选择题

1. 已知集合，集合，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】根据集合交集的运算求解.

【详解】∵，∴．故选：D.

2. 已知复数满足，若为纯虚数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】根据纯虚数的定义列关系式求即可.

【详解】因为为纯虚数，所以且，所以．故选：C.

3. 在等差数列中，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】利用已知条件列方程组求出，从而可求出.

【详解】设等差数列公差为，则由题意可得

，解得，所以，故选：C.

4. 已知向量是单位向量，向量，且，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】求出，，再利用数量积的公式和运算化简已知等式即得解.

【详解】由题意可知，，

，，

故，因为，即和的夹角为.故选：C.

5. 设实数，满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】首先由不等式组画出可行域，利用目标函数的几何意义来求最值.

【详解】如图，由约束条件作出可行域，

联立，解得.由图可知，当直线经过点时，

直线在轴上的截距最大，有最小值.此时.故选：B.

6. 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式孪生素数猜想是希尔伯特在年提出的个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数.素数对称为孪生素数从以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的个数有个，再算出在以内的素数中，随机选取两个不同的素数，能选的个数为，然后即可求出所求概率.

【详解】在以内的素数中，所有的素数有：；随机选取两个不同的数，其中能组成孪生素数的个数有个，即和；则在以内的素数中，随机选取两个不同的素数，能选的个数为，所以，孪生素数从以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为.

答案选A.

7. 在连续五次月考中，甲、乙两人的成绩依次为

甲：

乙：

则下列说法正确的是（    ）

A. 甲的成绩在逐渐上升

B. 甲的平均成绩比乙的高

C. 甲的发挥比乙的发挥更为稳定

D. 随机取其中同一次成绩，甲得分低于乙的概率为

答案：

C

解析：

【分析】根据题目所给数据，结合平均数、方差、古典概型等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，根据甲的数据可知，甲的成绩不是逐渐上升，A选项错误.

B选项，，两个人的平均成绩相同，B选项错误.

C选项，甲的成绩的方差为：

，

乙的成绩的方差为：

，

，所以甲的发挥比乙稳定，C选项正确.

D选项，五次月考中，同一场次，甲比乙低分的有次，所以概率为，D选项错误.

故选：C.

8. 已知；，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】设对应的集合为，对应的集合为，由题意可得是的子集，即可求解.

【详解】由可得：，解得：，记，，

若是的充分条件，则是的子集，所以，

所以实数的取值范围是，故选：C.

9. 已知圆：与：恰好有条公切线，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】根据两圆有条公切线，得到两圆外离，然后根据外离列不等式，解不等式即可得的取值范围.

【详解】因为圆：与：恰好有条公切线，所以圆与外离，所以，解得或，即实数的取值范围是.

故选：D.

10. 已知点是抛物线：上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】抛物线的焦点为，准线方程为，由已知条件结合抛物线的定义，得，求解即可．

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

所以，当且仅当点在线段上时等号成立，所以的最小值为．故选：A．

11. 已知点是半径为的球内的一点，且，过点的平面截球所得截面圆的圆心为．则当圆的面积最小时，以圆为底面，以球心为顶点的圆锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】由题意可知，，当重合时，取得最小值，从而可求得答案．

【详解】由题意可知，，

所以截面半径，且当重合时，取得最小值，此时截面面积，

则圆锥的体积．故选：C．

12. 如图，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】设的中点为，连接，，求出，，即得解.

【详解】设的中点为，连接，，得，，

所以，，在中，

由余弦定理得，

所以，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：B.

二、填空题

13. 函数的增区间为        .

答案：

或

解析：

【分析】解不等式即得解.

【详解】由题得，可得.故函数的增区间为.故答案为：.

14.         .

答案：

解析：

【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式及同角公式化简计算作答.

【详解】.故答案为：.

15. 已知奇函数的定义域为，且对任意恒成立，若，则

        .

答案：

解析：

【分析】根据的周期性和对称性，求出一个周期内的整数点处的函数值及它们的和，再根据

，求出个周期内的和加上即可.

【详解】由题知，，所以周期为，因为奇函数，所以，

因为，所以，所以，

因为，所以，

又，所以，因为，

所以.

故答案为：.

16. 已知正项等比数列的公比大于，且，则使得数列的前项积的的最小值为        .

答案：

解析：

【分析】根据等比数列的下标性质，结合等比数列的单调性进行求解即可.

【详解】设公比为，且，

由，有，有，有，

有，可得.

又由，

，，

故使得数列的前项积的的最小值为.

故答案为：.

三、解答题

17. 近年来，新能源汽车产业大规模发展，某品牌汽车投人市场以来，受到多位消费者欢迎，汽车厂家为扩大销售，对旗下两种车型电池续航进行满意度调查，制作了如下列联表.

已知从全部人中随机抽取人调查满意度为满意的概率为

附：，其中

（1）完成上面的列联表；

（2）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为满意度与消费者的性别有关？

答案：

见解析；

解析：

【分析】（1）根据从全部人中随机抽取人调查满意度为满意的概率为得到调查满意度为满意的人数，然后填列联表即可；

（2）根据列联表计算，然后判断即可.

【详解】（1）根据题意，满意的总人数为，∴完成列联表如下：

（2）∵，

∴没有的把握认为满意度与消费者的性别有关.

18. 已知的内角的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的最大值．

答案：

见解析；

解析：

【分析】（1）用正弦定理转化后，整理化简得，从而求出角的大小；

（2）利用余弦定理可得关系，利用基本不等式求的最大值，由此可求周长的最大值.

【详解】（1）由及正弦定理得，

因为，

所以，因为，，所以，，

又，解得；

（2）∵，，即，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立．所以周长的最大值为．

19. 如图，在直棱柱中，底面四边形为边长为的菱形，，为的中点，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若点为线段上的动点，求点到平面的距离.

答案：

见解析；

解析：

【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面平面，原题即得证；

（2）连接与相交于点，利用求解.

【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，.

∵为的中点，为的中点，∴，

因为平面,平面，所以平面.

∵为的中点，为的中点，∴.

∵直棱柱，∴，∴，

因为平面，平面，所以平面.

∵，平面，

∴平面平面.又∵平面，∴平面.

（2）如图，连接与相交于点，

在中，，同理，

由菱形可知，，在中，.

设点到平面的距离为，由平面，可知点到平面的距离也为，

由，可得的面积为，的面积为.有，，

由，有，可得，

故点到平面的距离为.

20. 已知函数，其中.

（1）当时，求在处的切线方程：

（2）当且时，存在一个极小值点，若.求实数的取值范围.

答案：

见解析；

解析：

【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求解作答.

（2）求出函数，利用导数分类探讨的极小值点即可求解作答.

【详解】（1）当时，，，有，，

因此有，即，所以在处的切线方程为.

（2）函数，则，，

，

由，解得或，

①若，有，，则当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

因此有一个极小值点，即，于是得，解得，则，

②若，则，则当或时，，当时，，

在，上单调递增，在上单调递减，

因此有一个极小值点，即，于是得，解得，无解，

③若，有，则当或时，，当时，，

在，上单调递增，在上单调递减，

因此有一个极小值点，即，于是得，解得，则，

综上，实数的取值范围为.

21. 已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆相交于 、两点，直线与椭圆相交于 、两点，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：直线过定点．

答案：

见解析；

解析：

【分析】（1）根据椭圆过点及离心率为，列方程组求解；

（2）将直线方程与椭圆方程联立得到二次方程，用韦达定理表示出中点、的坐标，由对称性可知直线所过轴上的定点，由三点共线列出方程可解出为定值.

【详解】（1）设点，的坐标分别为、，

由题意有，解得，故椭圆的标准方程为；

（2）证明：设直线的斜率为，可得直线的斜率为，

设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，

联立方程，消除后有，有，可得，，同理，，

由对称性可知直线所过的定点必定在轴上，设点的坐标为，

有，有，化简得，解得，

故直线过定点．

四、选做题（二选一）

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的标准方程与直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，求两点的极坐标．

答案：

见解析；

解析：

【分析】（1）根据参数方程转化为普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程的知识即可求解；

（2）根据极坐标的定义，结合的直角坐标求极径、极角，写出极坐标即可

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线的普通方程为，

因为直线的极坐标方程为，且，

所以直线的直角坐标方程为；

（2）依题意得，联立方程，解得或，

故点的直角坐标分别为，，

设点的极坐标分别为，，(其中，，，)

则，；，；

因为点在第四象限，点在轴的正半轴，所以，，

所以点的极坐标为，点的极坐标为．

23. 已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若，求实数的取值范围．

答案：

见解析；

解析：

【分析】（1）分别在，，条件下化简绝对值不等式，并求其解集；

（2）利用绝对值三角不等式得到，依题意可得，讨论的正负，解方程求的取值范围．

【详解】（1）当时，，不等式可化为，

当时，不等式化为，∴，此时；

当时，不等式化为，因为恒成立，所以；

当时，不等式化为，∴，此时，

综上所述，不等式的解集为；

（2），当且仅当时取等，

若，则，当时，不等式恒成立；

当时，不等式，两边平方可得，解得，∴，

综上可得，的取值范围是.