河南省驻马店市第二高级中学2022-2023学年高三上学期第二次培优考试数学理科试题含答案

这是一份河南省驻马店市第二高级中学2022-2023学年高三上学期第二次培优考试数学理科试题含答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：
C
解析：
【分析】
求集合中的函数定义域，得到集合，再与集合取交集.
【详解】
函数有意义，，解得，所以，由，则.
故选：C.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：
A
解析：
【分析】
根据分段函数定义区间，直接利用函数的解析式求解函数值即可.
【详解】
，∴，
，∴，
故选：A.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
答案：
C
解析：
【分析】
根据偶次根号里的数大于等于零，分母不等于零及对数的真数大于零即可得解.
【详解】
由，
得，解得且，
所以函数的定义域是.
故选：C.
4. 函数的图象为（ ）
A. B.
C. D.
答案：
B
解析：
【分析】
根据函数的奇偶性、特殊点的函数值即可求解.
【详解】
由题可知,函数的定义域为,
,,
所以函数为偶函数,故A,D选项错误,
又因为,故C错误，
故选:B.
5. 函数在处取得极值，则（ ）
A.B. C.D.
答案：
D
解析：
【分析】
求导，根据函数在处取得极值，可得，计算即可得解.
【详解】
，
因为函数在处取得极值，
所以，
即，解得，
经检验符合题意，所以.
故选：D.
6. 设：，，则使为真命题的一个充分非必要条件是（ ）
A. B. C. D.
答案：
A
解析：
【分析】
先确定使为真命题的充要条件，即可得使为真命题的一个充分非必要条件.
【详解】
：，，若为真命题，则恒成立，由于，所以，则.
则使为真命题的一个充分非必要条件是.
故选：A.
7. 在中，内角 所对的边分别为.已知．则（ ）
A. B. C. D.
答案：
B
解析：
【分析】
先利用余弦定理，然后利用正弦定理化简即可.
【详解】
因为，得
又因为
得
整理得
由正弦定理可得
得
得，因为
所以
所以
故选:B.
8. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：
B
解析：
【分析】
先求函数定义域，进而转化为，与两函数有两个交点，利用导函数得到的单调性，得到函数极值和最值，画出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】
定义域为，
故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，
其中，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而在处取得极大值，也是最大值，
，
且当时，恒成立，
当时，恒成立，
画出的图象如下：
显然要想，与两函数有两个交点，
需要满足，
综上：实数的取值范围是.
故选：B.
9. 已知函数，，则（ ）
A. 直线是函数的一条对称轴
B. 点是函数的对称中心
C. 将函数的图像向右平移个单位长度，可得到函数的图像
D. 将函数的图像向左平移个单位长度，可得到函数的图像
答案：
C
解析：
【分析】
化简解析式，逐个验证选项.
【详解】
，
，
，直线不是函数的一条对称轴，A选项错误；
，点不是函数的对称中心，B选项错误；
，C选项正确；
，D选项错误.
故选：C.
10. 已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则的最小值是（ ）
A. B.C.D.
答案：
D
解析：
【分析】
，可看作关于的二次函数大于等于恒成立，则判别式小于等于恒成立，即在时恒成立，记，利用导数求出最大值即可.
【详解】
，即 ，
算式可看作关于的二次函数大于等于恒成立，
则判别式恒成立，即在时恒成立，
记，则，
，解得，，解得，
在上单调递增，在上单调递减，，
∴，则的最小值是.
故选：D.
11. 已知函数，，则下列说法正确的有( )
A. 在区间上，无极值点
B. 在区间上，有两个极值点
C. 过作切线，有且仅有条
D. 过作切线，有且仅有条
答案：
C
解析：
【分析】
利用导数与函数极值的关系可判断A、B；利用导数的几何意义求出切线方程即可判断C、D．
【详解】
函数，，则，得，
正切函数和反比例函数的图象在上只有一个交点，
∴在上只有一个解，
∴在上有且仅有一个极值点，故选项A、B不正确；
设的切点为，则切线斜率为，
∵切线过，故可设切线方程为，
代入切点得，解得或，
则，，
∴切线方程为，∴选项C正确，选项D错误．
故选：C．
12. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数的取值的集合为（ ）
A. ，（）B. ，（）
C. ，（）D. ，（）
答案：
A
解析：
【分析】
根据函数的奇偶性与周期性作出函数图像，数形结合解决交点问题.
【详解】
函数满足，，所以函数为偶函数且周期为，
当时，，则函数图像如图所示：
若直线斜率为，在轴上截距为，当直线过点时，，
时，当直线与曲线相切，设切点坐标为，
由，，，切点坐标为，此时，
由图像可知，时，直线与曲线恰有三个公共点，
由函数周期为，实数的取值的集合为，（）
故选：A.
二、填空题
13. 已知函数，若，则_________．
答案：
或
解析：
【分析】
根据分段函数分别求满足的的值即可.
【详解】
函数，
故当时，，即，解得或；
当时，，解得.
综上，，或.
故答案为：，或.
14. 曲线在点处的切线方程为_________．
答案：
解析：
【分析】
直接求出导函数，令，求出斜率及直线所过的点，写出点斜式方程，化简即可.
【详解】
，令，此时，，故切线方程为，化简得，
故答案为：.
15. 若，则__________．
答案：
解析：
【分析】
先得到，再将原式弦化切, 再直接代入计算.
【详解】
，则，则，
.
故答案为：.
16. 已知，，（），若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是_________．
答案：
解析：
【分析】
命题对应的集合为，命题对应的集合为，由是的充分非必要条件，可得是的真子集，根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可.
【详解】
由不等式，解得，
设命题对应的集合为，则，
由不等式，解得，
设命题对应的集合为，则，
因为是的充分非必要条件，
所以是的真子集，
则（不同时取等号），解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
17. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）求的最小正周期及函数取得最大值时的集合．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）化简函数解析式为，根据，即可求的值；
（2）由（1）中解析式可得最小正周期，要使得函数取得最大值，满足即可求解的集合.
【详解】
（1）
所以，则.
（2）由（1）得，，所以的最小正周期为，
由于，故时，取得最大值，则，即.
故的最小正周期为，函数取得最大值时的集合为.
18. 某超市开展促销活动，经测算该商品的销售量为件与促销费用元满足．已知件该商品的进价成本为元，商品的销售价格定为元/件．
（1）将该商品的利润元表示为促销费用元的函数；
（2）促销费用投入多少元时，商家的利润最大？最大利润为多少?（结果取整数）．
参考数据：，，．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）由：利润=销售价格×销售量-促销费用-进价成本，列出利润元表示为促销费用元的函数.
（2）利用导数，求（1）中函数的最大值.
【详解】
（1）利润=销售价格×销售量-促销费用-进价成本，
所以 ，
再将代入可得：

（2）对函数求导可得
令，解得 ，
故可得当 时，函数单调递增，
当 时，函数单调递减，
所以，当时
所以当促销费用投入元时，商家的利润最大，最大利润为元
19. 对于，函数恒成立．
（1）求值的集合；
（2）设集合，若，求实数的取值范围．
在①；②“”是“”的充分条件；这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）分和两种情况讨论，从而可得出答案；
（2）选①，由，得，即不等式在上恒成立，令，再分，和三种情况讨论，求出函数的最小值，即可得解；
选②，根据“”是“”的充分条件，可得，下同选①.
【详解】
（1）当时，则恒成立，符合题意；
当时，则，解得，
综上所述，，
即
（2）选①，
因为，所以，
即不等式在上恒成立，
令，
当时，函数在上单调递增，
所以，解得，
又，所以，
当时，函数在上单调递减，
所以恒成立，
所以，符合题意，当时，
，解得，
又，所以，
综上所述，实数的取值范围为.
选②，
因为“”是“”的充分条件，
所以，
以下过程同①.
20. 锐角中，．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）利用同角三角函数的关系和倍角公式化简，能求出角A的大小.
(2) 由，有，锐角中， ，，化简后求取值范围.
【详解】
（1）由同角三角函数的关系和倍角公式，有，
，得，为锐角，.
（2）锐角中，，，，有，解得，
，
由，有，得，，
所以的取值范围为
21. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若关于的方程在上有实数根，求实数的取值范围．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）由导函数的正负，确定原函数的单调区间.
（2）方程在区间上有实数根，转化为对应的函数在区间上有零点，利用导数研究单调性即可.
【详解】
（1）函数，定义域为，，
，解得，，解得，
上单调递增，在上单调递减.
（2）在上有实数根，
即在上有实数根，
设，
则，
，解得，，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
，
在上最大值为，最小值为，
上有实数根，有，解得，
实数的取值范围为
22. 设函数，．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）对任意的，恒有成立，求实数的取值范围．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）直接代入值，对其求导函数，将分别代入导函数与原函数，得到斜率与过的点，最后写出点斜式方程，化简即可.
（2）分，，，三类讨论，分离出参数，右边设，分别求出其在和时的最值，最后得到的范围.
【详解】
（1）当时，，，
令，，，
所以切线方程为，化简得.
（2）若任意的,恒有成立,
即，在上恒成立，即， 其中
当时，成立，
当时，，则恒成立，令，，
令， 即，解得，故在上单调递减，其图像如图所示
故，所以此时，又因为，故，
当时，，则恒成立，令，即，解得，
而时，，故时，，此时单调递减，时，，此时单调递增，故在时取得最小值，，，又因，故，综上，对任意的,恒有成立，此时.