2023届杭州二中第一学期高三第一次月考数学试题含答案

这是一份2023届杭州二中第一学期高三第一次月考数学试题含答案，共24页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
由集合，，
所以.故选C.
2.已知向量，，若，则锐角的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
∵，∴，∴，又为锐角，∴，故选A.
3.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：
A
解析：
由，
所以或，，所以或，，
而由，得，，故，，
所以“”是“”，的充分不必要条件，故选A.
4.已知是方程的虚数根，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
由题意得，，，，…，
所以，故C.
5.与函数的奇偶性相同，且在上有相同的单调性的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
为偶函数，且在单调递增，
对于A，为奇函数，所以不正确；
对于B，不为偶函数，且在单调递减，所以不正确；
对于C，为偶函数，但在单调递减，所以不正确；
对于D，为偶函数，在单调递增，所以正确.故选D.
6.已知，，，若，，（是自然对数的底数），则有（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，大值画出该函数的图像，如图.
因为，所以，即；
因为，所以，即；
因为，所以，即，
又，，所以.
又，结合函数图像知，本题选B.
7.已知点在函数的图像上，点是在直线上，记，则（ ）
A.有最小值
B.当取最小值时，点的横坐标是
C.有最小值
D.当取最小值时，点的横坐标是
答案：
D
解析：
解法一：（切线法）直线的斜率为，当取最小值时，函数图像在点处的切线与直线平行，即斜率相等.
，令，解得，此时，，过点作直线的垂线，垂线方程为，
联立，解得此时点的坐标为.本题选D.
解法2：（点到直线的距离公式）设当取最小值时，
点的坐标为，则，
令，则.
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以当时，.
过点作直线的垂线，垂线方程为，
联立，解得此时点的坐标为.本题选D.
8.在中，角，，所对的边为，，，满足，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
解法一：因为，所以，
因为，所以，
所以，
整理得，所以.本题选C.
解法二：如图，设为的内心，内切圆的半径为，面积为，，垂足分别为，，，则，，，.
.
又由余弦定理，得，
所以.本题选C.
二、多选题
9.已知在同一平面的单位向量和非零向量，，则下列命题正确的是（ ）
A.
B.
C.若且，则
D.若，则
答案：
C、D
解析：
对于A项：与共线，与，两边向量的方向可能不同，A错误；
对于B项：取，易得左边可不为，而右边为，错误；
对于C项：由，得，，由垂线的性质可知，，正确；
对于D项：两边平方整理得，，，正确.故选择：CD.
10.在中，角，，所对的边分别是，，，下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ）
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
答案：
A、B
解析：
由，三角形唯一
由，得，余弦定理可解得，B正确；
C项：由正弦定理得，，，舍去，C选项错误；
，所以或，
所以或，有两解，D选项错误.故选择：AB.
11.已知，则（ ）
A.不等式的解集为
B.函数在单调递减，在单调递增
C.方程有两个不同的根的充要条件是
D.若关于的方程无解，则实数的取值范围是
答案：
A、B、D
解析：
函数的定义域为，则，即，解不等式可得，所以A正确；因为，；当，故B正确；令，得或，且，，方程有两，故C错误；若关于的方程无解，则直线与图象无公共点，由图像可得，实数的取值范围是，故选择：ABD.
12.下列命题正确的是（ ）
A.函数的最小值为
B.函数的最小值为
C.函数的最小值为
D.函数的最小值为
答案：
A、C、D
解析：
对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，设，则在上单调递减，所以，故B不正确；对于C，，
令，则，所以，可得在上递减，在上单调递增，则，故C正确；
对于D，令，
则，则，
令，，
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，故D正确.综上，选ACD.
三、填空题
13.已知，则________.
答案：
解析：
，，故填.
14.已知关于的方程有实数解，则最小值是________.
答案：
解析：
，
要使方程有实数解，则，即，则表示圆上及圆外的点，表示点与点距离的平方，结合图像可知最小值为，即，故填.
15.在平行四边形中，点在边上，且，点为线段上的一动点（包含端点），若（，），则的取值范围为________.
答案：
解析：
如图，在平行四边形中，，∴，∴，
∵，∴，
∵，，三点共线，∴，∴
令，，，
记，，
令，则或；令，则；
∴增区间为和，减区间为；
∴当时，；当时，；
∴，或，故填：.
16.已知对所有的非负整数，均有，若，则________.
答案：
解析：
令，则，
令，，则，
令，，则，
令，则，
∴，
记，故为等差数列，首项，公差为，
∴，，，
∴，∴，故填.
四、解答题
17.如图，已知边长为的正方形中，点在以为直径的的圆周上运动.
（1）当，，三点共线时，求的值；
（2）求的取值范围.
答案：
见解析
解析：
（1）点，，共线时，如图，点有个位置满足条件，即，，
当点在位置时，，，，
所以，
当点在位置时，，，，
所以.
（2）取的中点，
则
∵，
∴，当时，取到端点.
18.已知函数
（1）如果函数在处取到最大值或最小值，求的最小值；
（2）设，若对任意的有恒成立，求的取值集合.
答案：
见解析
解析：
（1）∵函数在处取到最大值或最小值，
∴，所以.
（2），
所以，所以.
19.在中，角，，的对边分别为，，，若满足：.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
答案：
见解析
解析：
（1）.
（1），.设，
则有，，.
故当时，，
当时，.
20.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列，进行构造，第一次得到数列，，；第二次得到数列，，，，；依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.
（1）①求，，的值；
②求数列的通项公式；
（2）求证：.
答案：
见解析
解析：
（1）①，，.
②设第次构造后得到的数列为，，，…，，.则.
则第次构造后得到的数列为，，，，，…，，，，.
则.∴.
∴.∵.∴数列是以为首项，为公比的等比数列.∴，.
（2），
.
21.有名志原者在年月号至月号期间参加核酸检测工作.
（1）若每名志愿者在这天中任选一天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，求名志愿者恰好连续天参加核酸检测工作的概率；
（2）若每名志愿者在这天中任选两天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，记表示这名志愿者在月号参加核酸检测工作的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
答案：
见解析
解析：
（1）名志愿者每人任选一天参加核酸检测，共有种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等.设“名志愿者恰好连续天参加核酸检测工作”为事件，则该事件共包括不同的结果.所以；
（2）的可能取值为、、、，
，，，
.
22.已知函数.
（1）是否存在实数使得在上有唯一最小值，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由；
（2）已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是，.
①求证：；②求证：.
答案：
见解析
解析：
（1）由.
当时，函数单调递增，没有最值；
当时，函数在单调递减，在单调递增，
故在取最小值，
即，
所以存在满足条件的，且.
（2）由，令，，
令，解得，故函数在上单调减，在单调增，故在上有唯一最小值点.
若方程有两个不同的零点，，
则，且，.
①函数的图像在点，处的切线方程分别为和且在内，在内.
先证：当时，
，得证.
再证：当时，，
令，得证.
令，，
由前面可知.
②由，
所以要证等价于证等价于证，
上式即.
即，令，即证明.
方法1：令，显然.
，
令，
所以，，，
令，解得，，
故在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，又因，所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递增，所以，不等式得证.
方法2：引理：当时，.
证明：令，，
故，得证.
现在证明：当时，，
，故得证.