2022-2023学年河南省许平汝名校高二上学期期中考试数学试题含答案

  2022—2023学年第一学期期中考试

高二数学

一、选择题

1. 已知向量,,则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据空间向量的坐标运算公式求解即可.

【详解】

因为,所以,又,所以．

故选：C.

2. 直线的倾斜角为（    ）

A. B. C. D.

答案：

D

解析：

【分析】

求出直线方程的斜率,设出倾斜角,列出方程,求出倾斜角.

【详解】

直线的斜率为,设直线倾斜角为,

则,因为,所以.

故选：D.

3. 若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为,则到另一个焦点的距离为（    ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】

根据椭圆的定义求解即可.

【详解】

由椭圆,得,则．

因为点到椭圆一焦点的距离为,

所以由椭圆定义得点到另一焦点到距离为.

故选：B．

4. 已知圆与圆关于直线对称,则圆的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

先求圆心关于直线直线的对称点,再确定圆的半径,由此可求圆的方程.

【详解】

圆的圆心为,半径为,

设圆心关于直线直线的对称点的坐标为,

则线段中点为,且.

于是,解得,所以点的坐标为,圆的半径与圆的半径相等,

故圆关于直线对称的圆的方程为．

故选：D.

5. 若实数满足,则曲线与曲线（    ）

A. 焦距相等 B. 实轴长相等 C. 虚轴长相等 D. 离心率相等

答案：

A

解析：

【分析】

根据实数取值范围,判断两个曲线的类型及焦点位置,然后对四个选项逐一判断即可.

【详解】

因为,所以,,所以曲线是焦点在轴上的双曲线, 曲线是焦点在轴上的双曲线,

选项A：曲线与曲线的焦距分别为：

,,所以两曲线的焦距相等,故A正确；

选项B：曲线与曲线的实轴长分别为：,所以两曲线的实轴长不相等,故B错误；

选项C：曲线与曲线的虚轴长分别为：,所以两曲线的虚轴长不相等,故C错误；

选项D：曲线与曲线的离心率分别为：,所以两曲线的离心率不相等,故D错误；

故选：A.

6. 直线与曲线有且仅有一个公共点,则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

曲线是一个半圆,画出草图,结合图像分类讨论即可.

【详解】

,,

曲线是一个半圆,如图所示：

当直线与曲线相切时,

可得 ,解得 ,

由图可知 ,

此时满足直线与曲线有且仅有一个公共点,

当直线在两点之间运动时,

直线与曲线有且仅有一个公共点,

,,

综上所述,或．

故选：D.

7. 已知四面体的所有棱长都等于是棱的中点,是棱靠近的四等分点,则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

由空间向量的线性运算可得,结合数量积的运算性质和定义求.

【详解】

因为是棱的中点,是棱靠近的四等分点,

所以,,因为

,

,

,

所以．

故选：D.

8. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点,点为椭圆上的任意一点,则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

根据数量积的坐标表示求出的表达式,结合椭圆方程和椭圆上的点的坐标的范围求其最值即可.

【详解】

因为点为椭圆的左焦点,所以,设点的坐标为,

则

∵为椭圆上一点,∴,

∴

,

因为,对称轴为,故当时取得最大值．

故选：A.

二、多选题

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 已知直线与直线垂直,则实数的值是

B. 直线必过定点

C. 直线在轴上的截距为

D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

答案：

B、C

解析：

【分析】

根据直线垂直关系列方程求,判断选项A；将直线方程化为点斜式即可判断选项B；根据截距的定义判断选项C,根据条件求出满足要求的直线方程,判断选项D.

【详解】

对A：因为直线与直线垂直,

则,解得或,A不正确；

对B：直线可变为,因此直线必过定点,即B正确；

对C：由直线方程取,得,

所以直线在轴上的截距为,所以C正确．

对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或,所以D不正确；

故选：B、C．

10. 设圆,点,若圆上存在两点到的距离为,则可能取值为（    ）

A. B. C. D.

答案：

A、B、C

解析：

【分析】

将问题转化为以为圆心,为半径的圆与圆相交问题,再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案

【详解】

根据题意设以为圆心,为半径的圆为圆,

由圆可得圆心为,半径为,

则两圆圆心距为：,

因为圆上存在两点到的距离为,所以圆与圆相交,

所以,解得：,

又,所以的可能取值为,

故选：A、B、C.

11. 已知平面过点,其法向量,则下列点不在平面内的是（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C、D

解析：

【分析】

根据平面的法向量与平面内的向量的数量积关系逐项检验即可.

【详解】

A．,,,在平面内；

B．,,,在平面内；

C．,,

,不在平面内；

D．,,,不在平面内；

故选：C、D．

12. 已知,是双曲线（）的左、右焦点,过作倾斜角为的直线分别交轴、双曲线右支于点、点,且,下列判断正确的是（    ）

A.  B. 的离心率等于

C. 的内切圆半径是 D. 双曲线渐近线的方程为

答案：

A、B

解析：

【分析】

由几何关系得轴,再由离心率,渐近线的概念对选项逐一判断,

【详解】

因为分别是,的中点,

所以在中,,所以轴,

对于A,因为直线的倾斜角为,所以,故A正确,

对于B,中,,,,

所以,得：,故B正确,

对于C,的周长为,设内切圆半径为,根据三角形的等面积法,

有,得：,故C错误,

对于D,,双曲线渐近线的方程为,故D错误,

故选：A、B.

三、填空题

13. 正方体中,分别是、的中点,则直线与所成角的余弦值为__________．

答案：

解析：

【分析】

设正方体的棱长为,建立空间直角坐标系,求直线与的方向向量,利用向量夹角公式求两向量的夹角余弦值,即可得到答案．

【详解】

以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系；

设棱长为,则

∴,

即,异面直线与所成的角的余弦值为．

故答案为：.

14. 圆与圆的交点为,则弦的长为__________．

答案：

解析：

【分析】

先求出两圆的公共弦方程,观察发现的圆心在公共弦上,从而得到弦的长为圆的直径,求出公共弦长.

详解】

圆与圆联立可得：

公共弦的方程为,

变形为,

故的圆心为,半径为,

而满足,故弦的长为圆的直径,

故弦的长为．

故答案为：.

15. 已知椭圆的离心率为,直线与椭圆交于两点,直线与直线的交点恰好为线段的中点,则直线的斜率为_________．

答案：

或

解析：

【分析】

由椭圆的离心率为可得,再利用点差法求直线的斜率.

【详解】

由题意可得,整理可得．

设,,则,,两式相减可得

．

因为直线与直线的交点恰好为线段的中点,所以,

则直线的斜率．

故答案为：.

16. 已知为椭圆的左焦点,直线与椭圆交于两点,为椭圆上的任一点,则_________；若轴,垂足为与椭圆的另一个交点为,的余弦值为_________．

答案：   

①. 或    ②.

解析：

【分析】

设出,,,表达出,结合点在椭圆上,满足椭圆方程,化简后求出；表达出,结合,化简得到,求出,得到余弦值.

【详解】

设,,则,

,因为点在椭圆上,

,,两式相减得,,故．

由题意得,,因为,,

而,因为为椭圆上一点,所以,

则,得,故,则,

,故余弦值为．

故答案为：,.

四、解答题

17. 已知的顶点．求：

（1）边所在直线的方程；

（2）的面积．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）先求出直线的斜率,再利用点斜式写出直线的方程；（2）先利用公式求点到直线的距离和,再利用三角形面积公式求的面积．.

【详解】

（1）因为,,所以,所以边所在直线的方程为：,即

(2)因为,,所以,由(1)直线的方程为,又点的坐标为,所以点到直线的距离,

所以的面积为.

18. 已知,分别为椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,当轴时,．

（1）求椭圆方程；

（2）当,求的面积．

答案：

见解析

解析：

【分析】

(1)由条件列方程求,由此可得椭圆方程；(2)根据椭圆的定义和余弦定理列等式,化简可求,再由三角形面积公式求的面积.

【详解】

（1）由知,,

因为轴时,可得点的坐标为或,因为点在椭圆上,所以,又,所以

所以,所以椭圆的方程为；

（2）设,又,

所以,所以,

所以,所以的面积为.

19. 已知圆过点,,且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）判断直线与圆的位置关系；若相交,求直线被圆截得的弦长．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据圆的弦中点与圆心连线与弦垂直,可写出过线段的垂直平分线方程,与联立即可求出圆心坐标；再根据圆心到圆上一点的距离既是半径求出圆的半径；

（2）根据点到直线距离公式计算出圆心到直线的距离,然后根据直线与圆相交的条件判断即可,再利用弦长公式即可算出弦长.

【详解】

（1）,,所以,线段的中点为

所以线段的垂直平分线方程为,又因为圆心在直线上,

联立解得,,所以圆心坐标,又半径为

,∴圆的方程为：

（2）由（1）知：圆的标准方程为：,圆心,半径；

点到直线的距离,故直线与圆相交,

故直线被圆截得的弦长为

20. 如图,在棱长为的正方体中,点分别在,,上,且,．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）证明：平面．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）建立空间直角坐标系,进而求出平面的法向量和直线的方向向量,利用向量夹角公式求两向量的夹角余弦由此可得直线与平面所成角的正弦值；

（2）根据空间向量共面定理即可证明问题.

【详解】

(1)以为坐标原点,,,分别为轴的正方向建立空间直角坐标系,

则,

所以,

设平面的法向量为,则,

令,则,设直线与平面成的角为,

(2)假设存在使得,又,则

,

即,所以,

故存在,使得,∴平面.

21. 如图,在正三棱柱中,,为上一点．

（1）确定的位置使平面；

（2）对于（1）中位置,求平面与平面夹角的余弦值．

答案：

见解析   

解析：

【分析】

(1)建立空间直角坐标系,设并求出直线的方向向量和平面的法向量,由条件平面列方程求,由此确定的位置；

(2)求平面的法向量,根据向量夹角公式可求平面与平面的法向量的夹角的余弦值,由此可得结论．

【详解】

（1）以为原点,平面内过且垂直的直线为轴,所在直线为轴,

所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系．

设,则,

设,

,,,

设平面的法向量为,则,

即,令,则,,∴

因为平面,所以,即,

解得,所以为的中点时满足平面．

（2）因为平面的法向量为,平面的法向量为,

所以,

∴平面与平面夹角的余弦值为．

22. 已知椭圆的左右焦点,分别是双曲线的左右顶点,且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是第一象限内上的一点,、的延长线分别交于点、,设、分别为、的内切圆半径,求的最大值．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）求出双曲线的顶点和渐近线,从而求出,,得到,求出椭圆方程；

（2）设,得到直线的方程为：,与椭圆方程联立后得到,同理求出当时,,根据、的面积表达出,利用基本不等式求出,的最大值,再考虑轴时,,从而得到答案.

【详解】

（1）椭圆的左右焦点分别为,,

而双曲线的顶点分别为,,所以．

又椭圆上顶点为,而双曲线的一条渐近线为,

则有,解得：．

故,所以椭圆的方程为．

（2）设,

直线的方程为：,

将其代入椭圆的方程可得,

整理可得,则,

得,,故．

当时,直线的方程为：,将其代入椭圆方程并整理可得

,同理,可得,

因为,,

所以

,

当且仅当,时,等号成立

若轴时,易知,,,

此时,

综上,的最大值为.