2022-2023学年湖南省部分学校高二上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年湖南省部分学校高二上学期期中联考数学试题含答案，共26页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
  高二数学试卷一、选择题1.倾斜角为的直线经过点和，则（   ）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】通过直线的斜率公式以及条件列出相应的方程，从而求出的值.【详解】倾斜角为的直线经过点和，，解之得，故选：B.2.椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（   ）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】依题意求出，再根据椭圆的定义判断即可.【详解】对于椭圆，即，所以，则，即椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和为；故选：C.3.双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（   ）A. B. C.或 D.答案：B解析：【分析】根据双曲线的定义直接得解.【详解】设双曲线的左右焦点分别为，，由双曲线，可得，又，则，故选：B.4.圆与圆恰有两条公切线．则的取值范围是（   ）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意两圆相交，则，即可得到不等式组，解得即可.【详解】圆，即，圆心，半径，圆的圆心，半径，因为两圆恰有两条公切线，则两圆相交，所以，即，解得，即；故选：A.5.已知直线，则（   ）A.直线的倾斜角为B.直线的斜率为C.直线的一个法向量为D.直线的一个方向向量为答案：D解析：【分析】根据直线方程求出斜率和倾斜角可判断A，B；根据斜率求出直线的一个方向向量可判断C，D.【详解】将直线化为，直线的斜率为，故B不正确；所以直线的倾斜角为，故A不正确；因为直线的一个方向向量为，又与不垂直，所以C不正确；直线的一个方向向量为与平行，所以D正确.故选：D.6.已知双曲线的左，右焦点分别为，，是右支上一点，且，则双曲线的离心率的取值范围是（   ）A. B.C. D.答案：C解析：【分析】运用双曲线的几何性质和的几何性质即可求解.【详解】如图，由双曲线的几何性质可知，由条件可知，，，在中，，即，；当点位于双曲线的右顶点时，也满足题意，即，，由双曲线的几何性质知，所以离心率的取值范围是；故选：C.7.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点与的焦点不重合，点关于，的对称点分别为，，线段的中点在的右支上．若，则的实轴长为（   ）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】由题意可得，，代入，即可得出答案.【详解】∵为的中点，为的中点，∴，，又，所以，∴.故选：B．     8.台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长.【详解】如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，以为圆心，为半径作圆，则圆的方程为，当台风进入圆内，则城市处于危险区，又台风的运动轨迹为，设直线与圆的交点为，，圆心到直线的距离，则，所以时间，故选：C.     二、多选题9.已知双曲线，则下列各选项正确的是（   ）A.双曲线的焦点坐标为B.双曲线的渐近线方程为C.双曲线的离心率为D.双曲线的虚轴长为答案：B、C解析：【分析】根据双曲线方程求出、、，再一一判断即可.【详解】双曲线，则、，所以，则焦点坐标为，故A错误；离心率，故C正确，虚轴长为，故D错误；渐近线方程为，即，故B正确；故选：BC.10.设直线与，则（   ）A.当时，B.当时，C.当时，、间的距离为D.坐标原点到直线的距离的最大值为答案：A、C、D解析：【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线的距离最值，即可判断C、D.【详解】A：时，，，易知，正确；B：时，，，则，故不成立，错误；C：时，，则，可得或，当时，，，两线重合，排除；所以，由A知：它们的距离，正确；D：坐标原点到直线的距离，故时，正确.故选：ACD.11.若关于的方程有唯一解，则的取值可能是（   ）A. B. C. D.答案：A、D解析：【分析】将问题转化为、有唯一交点，应用数形结合，由直线与圆的有唯一交点求的取值范围.【详解】由题设，即，问题等价于在上有唯一解，令表示圆心为，半径为圆的上半部分，而表示斜率为的直线，如下图示：只需、有唯一交点，当直线与半圆右上部相切时，有，得，此时有唯一交点；当直线过，时，直线方程为，由图知：恒有两个交点；当直线过时，直线方程为，由图知：恒有一个交点；综上，或，原方程有唯一解.故选：AD.12.历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴的夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为，关于所得截口曲线，下列选项正确的是（   ）A.曲线形状为圆B.曲线形状为椭圆C.点为该曲线上距离最长的两点确定的线段的三等分点D.该曲线上任意两点间的最长距离为答案：B、C、D解析：【分析】由题意可得截面与旋转轴成角，可得截面为椭圆，即可判断A、B，画出轴截面的图象，解直角三角形计算出的长以及轴的长，由此可判断C、D；【详解】由题意可得截面与旋转轴成角，可得截面为椭圆，故A错误，B正确；画出轴截面的图象如下图，，，，，，，，曲线上任意两点最长距离为，点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，由此可判断C、D正确；故选：BCD.三、填空题13.古希腊数学家阿基米德早在多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆，则该椭圆的面积为        ．答案：解析：【分析】根据椭圆方程求出、，依题意椭圆的面积，从而计算可得.【详解】解：对于椭圆，则、，所以椭圆的面积；故答案为：.14.过双曲线的左焦点作一条直线，当直线的斜率为时，直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，当直线的斜率为时，直线与双曲线的左支有两个不同的交点，则双曲线的离心率可以为        ．答案：（答案不唯一）解析：【分析】写出直线的斜率为、对应的直线方程，联立双曲线方程得到关于的一元二次方程，根据交点情况判断根的分布，结合韦达定理列不等式求双曲线参数关系，进而求离心率范围.【详解】由左焦点，而双曲线为，当直线的斜率为时，直线为，联立双曲线得：有两个异号的根，所以，故；当直线的斜率为时，直线为，联立双曲线得：有两个负根，所以，故，综上，，故离心率可以为.故答案为：（答案不唯一）.15.已知圆，则直线被圆截得的弦长的最小值为        ．答案：解析：【分析】根据直线与圆相交时的弦长公式，明确当弦心距取最大时，弦长取最小，可得答案.【详解】由，则圆心，半径，由，则，令，解得，直线过定点，当时，弦长取得最小值，则，故答案为：.16.一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则入射点的坐标为        ，反射光线所在的直线方程为       ．答案：解析：【分析】求出直线的方程，根据直线与的交点即为入射点，联立求出交点坐标即可；然后根据反射光线所在的直线即为直线关于直线对称的直线，然后根据直线关于直线对称即可求出结果.【详解】直线的斜率，所以直线的方程为，即，则直线与的交点即为入射点，，解得，故入射点坐标为，反射光线所在的直线即为直线关于直线对称的直线，在直线上任取一点，设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得，即，因此反射光线的斜率为，所以反射光线的直线方程为，即，故答案为：；.四、解答题17.已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．（1）求的坐标；（2）求直线的方程．答案：见解析解析：【分析】（1）由垂直关系可得，从而得到直线的方程，联立直线，直线边上的中线所在直线的方程，即可求得的坐标.（2）设，满足点在直线高线上；由中点在中线上，两方程联立，求得点坐标，从而得到直线的方程.【详解】（1）直线与其边上的高所在的直线互相垂直，因为边上的高所在的直线斜率为，所以，设直线的方程为，又，所以，即，且点在边上的中线上，，解得，所以.（2）设，因为点在直线高线上，则，设中点为，则，，且在中线上，，联立，解得，，，即直线的方程为，即，18.曲线上任意一点到点的距离与到点的距离之比为．（1）试问曲线为何种曲线，说明你的理由；（2）过直线上一点向曲线作一条切线，切点为，求的最小值．答案：见解析解析：【分析】（1）利用直接法求曲线的方程，进而确定曲线类型；（2）数形结合可得，当时，取最小值，取最小值.【详解】（1）设曲线上一点坐标为，由已知得，化简可得，所以曲线表示以为圆心，为半径的圆.（2）如图所示，由已知得，，则，所以当当时，取最小值，此时，取最小值，.19.已知圆心为的圆经过，，，这三个点．（1）求圆的标准方程；（2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．答案：见解析解析：【分析】（1）设圆的标准方程为，带入三点坐标解方程组可得答案；（2）当直线的斜率不存在时，得直线方程求弦长；当直线的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦的一半构成的直角三角形计算可得答案.【详解】（1）设圆的标准方程为，因为过，，，所以，解得，所以圆的标准方程为；（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，由，解得或，所以直线被圆截得的弦长为，符合题意；当直线的斜率存在时，设其方程为，即，圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为，所以，即，解得，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积．答案：见解析解析：【分析】（1）由离心率得到，再设，，利用点差法得到，即可求出直线的方程，令，即可求出，从而求出、，即可求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，即可求出，最后根据计算可得.【详解】（1）设，，因为的中点坐标为，所以，，因为，所以，即，所以，又、，所以，即，所以，即，即，所以直线的方程为，即，令，解得，即，所以，则，所以椭圆方程为；（2）由，得，所以，，则，，所以，所以.21.已知椭圆过点．，分别为左右焦点，为第一象限内椭圆上的动点，直线，与直线分别交于，两点，记和的面积分别为，．（1）试确定实数的值，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出的值；（2）在（1）的条件下，若，求的值．答案：见解析解析：【分析】（1）根据椭圆过点，可得椭圆方程，进而可得椭圆焦点，设点，利用距离公式可得与的关系，根据为定值，可得与的值；（2）根据，的方程可得点与的坐标，进而可得与，可解得点的坐标，进而分别求得各线段长度，可得解.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，即，所以，，则，，所以椭圆的方程为，设，，则，又，即，所以，因为为定值，所以，解得，所以；（2）由（1）得，直线，又，，，则直线，令，则，所以，同理直线，令，则，所以，所以，所以，化简可得或，解得或（舍），所以，，，则，，，，所以.22.已知从曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为、一条渐近线方程为，过的直线与双曲线的右支交于，两点．（1）求双曲线的方程；（2）已知，若的外心的横坐标为，求直线的方程．答案：见解析解析：【分析】（1）根据双曲线中实轴以及渐近线方程，可得方程组，可得答案；（2）根据三角形外心的定义，由直线与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示点的坐标，根据外心位于中垂线，利用外心到顶点的距离相等，可得答案.【详解】（1）由题意，则，由渐近线方程，即，则，解得，故双曲线.（2）已知，由（1）可知，，则，即，①当直线斜率不存在时，直线方程为，将其代入双曲线方程，可得，解得，则，，此时，为等腰三角形，边上中垂线为轴，若外心的横坐标，则，但此时，，，由，则不符合题意；②当直线斜率存在时，设，联立可得，消去可得：，设，，则，，由于，位于双曲线的右支，则直线与渐近线方程应满足或，，记的中点，设，则在的中垂线上，设直线的斜率为，则，，显然，则，可得，由，则，又因，可得，整理可得：，，，，由，则，直线方程为，即或.