2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中数学试题含答案

  长郡中学2022年下学期高二期中考试

数学

一、选择题

1.在数列中，且，则（   ）

A. B. C. D.

答案：

D

解析：

【分析】根据给定的条件，利用等比数列通项公式求解作答.

【详解】数列中，且，因此数列是首项为，

公比为的等比数列，所以.故选：D.

2.在棱长为的正方体中，（   ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果．

【详解】．故选：B．

3.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（   ）

A. B.

C. D.

答案：

A

解析：

【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．

【详解】由题意可得圆心为点，半径为，

要求的圆的标准方程为，故选：A．

4.在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（   ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】设等比数列的公比为，则，根据题意可得出、的等量关系，即可求得数列的公比.

【详解】设等比数列的公比为，则，

由题意可得，即，则，故.

故选：B.

5.若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（   ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】由题意列出，，关系式，结合与可求出椭圆的离心率．

【详解】椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，

，即，又，，

，，又，则，

因此椭圆的离心率为．故选：B．

6.已知某圆锥的母线长为，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为（   ）

A. B. C. D.

答案：

A

解析：

【分析】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，表示，利用均值不等式求最值，结合线面角定义可得结果.

【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则，，

，，

于是，

（当且仅当，即时取等号），

此时，，由线面角的定义得，所求的母线与底面所成角的正弦值为，

故选：A.

7.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于、两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（   ）

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出、，进而求出面积.

【详解】设，，则有，

两式作差得：，即，

弦中点坐标为，则，

又∵，∴，∴，

又∵，∴可解得，，

故椭圆的面积为.故选：C.

8.如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为和的重心，为线段上一点．（   ）

A.的最小为

B.若平面，则

C.若平面，则三棱锥外接球的表面积为

D.若为线段的中点，且，则

答案：

D

解析：

【分析】A选项由线面垂直证得，，进而由点与点重合时即可判断；B选项利用内切球求得即可判断；C选项找到球心，由勾股定理求得半径，即可判断；D选项由空间向量的线性运算即可判断.

【详解】易得，，又，则面，

又面，则，同理可得，

，则平面，又，平面，

所以，．则当点与点重合时，取得最小值，

又，

则最小值为，A错误．

在正四面体中，因为平面，易得在上，所以，又点，也是和的内心，

则点为正四面体内切球的球心．，．设正四面体内切球的半径为，

因为，所以，

解得，即，故，B错误．

设三棱锥外接球的球心为，半径为，易得球心在直线上，

且，则，

解得，故三棱锥外接球的表面积为，C错误．

若为线段的中点，则，．

设，则．

因为，所以设，则解得故，D正确.故选：D.

二、多选题

9.已知直线，，则（   ）

A.直线过定点

B.当时，

C.当时，

D.当时，两直线，之间的距离为

答案：

C、D

解析：

【分析】根据给定的直线，的方程，结合各选项中的条件逐一判断作答.

【详解】依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确；

当时，直线，而直线，

显然，即直线，不垂直，B不正确；

当时，直线，而直线，

显然，即，C正确；

当时，有，解得，即直线，

因此直线，之间的距离，D正确.故选：CD.

10.若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（   ）

A.

B.

C.(，为常数)

D.

答案：

B、C、D

解析：

【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.

【详解】对于选项A，数列，，是等差数列，取绝对值后，，不是等差数列，故选项A不符合题意；

对于选项B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：

数列为常数列，故为等差数列，故选项B符合题意；

对于选项C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列，

故为等差数列，故选项C符合题意；

对于选项D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数列，故选项D符合题意，故选：BCD.

11.“堑堵”“阳马”和“鳖臑””是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图），得到一模一样的两个堑堵（图），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图），得一个四棱锥称为阳马（图），一个三棱锥称为鳖臑（图）.

若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（   ）

A. B.

C. D.

答案：

A、C、D

解析：

【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖臑的体积与长方体的体积的数量关系，即可得答案.

【详解】由题意，堑堵的体积，阳马的体积，瞥臑的体积，

故选：ACD.

12.已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（   ）

A.曲线的准线方程为

B.若，则的面积为

C.若，则

D.若，的中点在的准线上的投影为，则

答案：

B、C、D

解析：

【分析】对于A，由抛物线的方程易知准线为，故A错误；

对于B，利用抛物线的定义求得，进而可求的面积，故B正确；

对于C，由及点在抛物线上得到，再利用两点距离公式及基本不等式，即可证得，故C正确；

对于D，结合图像，利用余弦定理及基本不等式即可证得，故D正确.

【详解】因为抛物线，故，焦点，准线为，

设，，则

对于A，易知准线为，故A错误；

对于B，如图，由抛物线的定义可知，即，故，

代入，解得，

所以，故B正确；

对于C，由得，故，即，

又，，故，

得或（舍去），则，

所以，

故，故C正确；

对于D，如图，过、作准线的垂线，垂足分别为、，连接，

则，在中，，

故，

所以，即，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.椭圆与双曲线有公共点，则与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为        ．

答案：

解析：

【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同的焦点，，

从而得到与双曲线两焦点的距离之和，再根据，求出周长.

【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点，，

由椭圆定义可知：，

故与双曲线两焦点的距离之和为，又，

因此与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为.故答案为：.

14.已知，，，若，，三向量共面，则实数        ．

答案：

解析：

【分析】由题意存在，，使得，代入坐标，列方程组计算，即得解.

【详解】由题意，，，三向量共面，故存在，，使得，

即，

故，解得.故答案为：.

15.在平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过、、三点，则圆的面积最小值为        ．

答案：

解析：

【分析】要使圆的面积尽可能小，则点位于第一象限，设，再求出的中垂线方程，设圆心坐标为，根据，得到，参变分离求出的最小值，即可求出，从而求出面积最小值.

【详解】要使圆的面积尽可能小，则点位于第一象限，设，

又，，所以线段的中垂线方程为，则圆心在直线上，

不妨设圆心坐标为，圆的半径为，所以，

即，

则，所以，

所以，

当且仅当即时取等号，所以，

所以圆的面积最小值为，此时；

故答案为：.

16.已知数列满足，，则数列的通项公式为        ，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为        ．

答案：

解析：

【分析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出，再借助数列单调性计算得解.

【详解】在数列中，，由得：，而，

于是得数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即，

所以数列的通项公式为；

显然，，则，

由得：，即，令，则，

即数列是递增数列，由，得，而，

因此，，从而得，，

所以满足不等式的的最小值为.故答案为：；.

四、解答题

17.如图在边长是的正方体中，，分别为，的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小．

（2）证明：平面．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；

（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.

【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：

，，，，，，

∴，，，．

（1），

∴，∴异面直线和所成的角为．

（2），∴，即，

，∴即．

又∵，平面且，∴平面．

18.已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等.

（1）求曲线的方程；

（2）求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）根据抛物线的定义可得曲线方程；

（2）分类讨论：斜率为，即与抛物线的对称轴平行；斜率不存在与抛物线相切，斜率存在且与抛物线相切（应用判别式为），分别求解可得．

【详解】

（1）设的坐标，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标，所以的轨迹方程为.故曲线的方程为：.

（2）当直线过点，且斜率为时，即直线与拋物线的对称轴平行时，

直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为；

当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为，显然与拋物线相切；

当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，

联立，整理可得，

则，即，解得，此时直线的方程为，

综上所述，满足条件的直线的方程为或或.

19.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）求边上的中线的所在直线方程；

（2）求的外接圆被直线截得的弦长．

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）先求边的中点的坐标，再得的斜率即可求解；

（2）先求的外接圆，再求圆心到直线.直线的距离，再由勾股定理可求解.

【详解】

（1）∵，，∴边的中点的坐标为，

∴中线的斜率为，∴中线的直线方程为：，

即.

（2）设的外接圆的方程为，

∵、、三点在圆上，∴解得：

∴外接圆的方程为，即，

其中圆心为，半径，

又圆心到直线的距离为，

∴被截得的弦长的一半为，∴被截得的弦长为.

20.已知各项均不为零的数列的前项的和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，的前项和为，证明．

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）利用给定的递推公式，探求数列相邻两项的关系，即可求解作答.

（2）由（1）结合已知求出，再利用错位相减法求和推理作答.

【详解】

（1），，当时，，两式相减得：，

由得：，即，满足上式，

因此，，于是得数列是首项为，公比为的等比数列，，所以数列的通项公式是.

（2）由（1）知，，而，则，即，

则，

于是得，

两式相减得：，

所以．

21.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

（1）若为棱的中点，求证：平面；

（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）取中点，连接，，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；（2）假设在棱上存在点满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论.

【详解】

（1）取中点，连接，，，分别为，的中点，

，，底面四边形是矩形，为棱的中点，

，．，，

故四边形是平行四边形，．

又平面，平面，平面．

（2）假设在棱上存在点满足题意，

在等边中，为的中点，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，则是四棱锥的高．

设，则，，

，所以.

以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

故，，．

设，．

设平面的一个法向量为，

则取．

易知平面的一个法向量为，，，，

故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.

22.已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，直线过与双曲线的右支交于，两点，且当垂直于轴时，；

（1）求双曲线的方程；

（2）过点且垂直于的直线与双曲线交于，两点，求的取值范围．

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）根据通径，直接求得，再结合离心率为即可求双曲线的方程；

（2）通过对转化为，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.

【详解】

（1）依题意，，当垂直于轴时，，

即，即，解得，，因此；

（2）设，联立双曲线方程，

得：，

当时，，，，，

，

当时，设，，，，

因为直线与双曲线右支相交，

因此，即，同理可得，

依题意，

同理可得，，

而，

代入，，

，

分离参数得，，

因为，当时，由，

，

所以，

综上可知，的取值范围为.