2022-2023学年湖南师大附中高二第一学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年湖南师大附中高二第一学期期中数学试题含答案，共26页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试数   学一、选择题1.当时,复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于（    ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：化简得，又因为，所以，，所以，所对应的点在第四象限.故选：D.2.曲线与曲线且的（    ）A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等答案：C解析：曲线表示焦点在轴上,长轴长为,短轴长为,离心率为，焦距为的椭圆.曲线(且)表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为的椭圓.对照选项,则C正确.故选：C.3.数列的通项若是递增数列,则实数的取值范围是（    ）A.B. C.D.答案：A解析： 由已知得解得.故选：A.4.是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为,那么直线与平面所成角的余弦值是（    ）A.B.C.D.答案：B解析：解法一：如图,设直线在平面的射影为,作于点于点,连接,有故已知，故为所求.解法二:如图所示,把放在正方体中,的夹角均为.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为,则，所以，设平面的法向量,则令,则,所以，所以.设直线与平面所成角为,所以，所以.故选：B.5.在流行病学中,基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于,而且死亡率较高的传染病,一般要隔离感染者,以控制传染源，切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数,平均感染周期为天(初始感染者传染个人为第一轮传染,经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染···)那么感染人数由个初始感染者增加到人大约需要的天数为(参考数据:)（    ）A.B.C.D.答案：B 解析：感染人数由个初始感染者增加到人大约需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染,总共感染人数为： 因为,所以当感染人数增加到人时,,化简得,由,故得,又因为平均感染周期为天，所以感染人数由个初始感染者增加到人大约需要天.故选：B.6.半径为的圆内有一点,已知,过点的条弦的长度构成一个递增的等差数列,则的公差的取值范围为（    ）A.B.C.D.答案：A解析：由题知过点的最短弦与垂直,弦长为,最长弦为圆的直径,其长为,过点的条弦的长度构成递增的等差数列，则公差的最大值为，故的公差的取值范围为.故选：A.7.已知,函数在上存在最值,则的取值范围是（    ）A.B.C.D.答案：D解析：解法一:当取最值时,.即，由题知，故.即，因为时,时，；显然当时，,此时在上必有最值点综上,所求.解法二：由,在上存在最值，即在上有解.即在上有解.以下同解法一.解法三：特例代入法分别取,易知A、B、C错.故选：D.8.已知函数,则存在,对任意的有（    ）A. B.C.D.答案：C解析：A选项,由题意可知,函数图象开口向上,对称轴为,当时,根据二次函数性质知不成立,故A错误;B选项,为四次函数，因为为指数函数，则时,一定有,故B错误;C选项，,则只需的对称轴位于左边即可,即,所以即可,故C正确;D选项，分别取,可得,对二次函数来说是不可能的,故D错误.故选：C.二、多选题9.已知圆,则下列说法正确的是（    ）A.直线与圆相切B.圆截轴所得的弦长为C.点在圆外D.圆上的点到直线的最小距离为答案：B、C 解析：由圆得,所以圆心,半径,对于A:圆心到直线的距离为,所以直线与圆相交,故A错误;对于B:圆心在轴上,则所截得的弦长为直径等于,故B正确;对于C:点到圆心的距离,所以点在圆外,故C正确;对于D:圆心到直线的距离,所以圆上的点到直线的最小距离为,故D错误.故选:BC.10.已知是的前项和,下列结论正确的是（    ）A.若为等差数列,则(为常数)仍然是等差数列B.若为等差数列,则C.若为等比数列,公比为,则D.若为等比数列,则“”是“”的充要条件答案：A、C解析：对于A,由,故.易知(为常数)是首项为,公差为的等差数列,A正确;对于B,由为等差数列,则仍成等差数列,故有,所以,B不正确;对于C,,故,C正确;对于D,充分性易证.而若为常数列时,如,则,但,故必要性不成立，D不正确.故选：AC.11.点是正方体中侧面正方形内的一个动点,正方体棱长为,则下面结论正确的是（    ）A.满足的点的轨迹长度为B.点存在无数个位置满足直线平面C.在线段上存在点,使异面直线与所成的角是D.若是的中点,则平面与平面所成锐二面角的正切值为答案：A、B、D解析：对于A,如图,因为平面平面,所以;因为四边形为正方形,所以;又平面,所以平面,所以点轨迹即为平面与平面的交线,即为,所以点轨迹的轨迹长度为,A符合题意;对于B,如图,因为平面平面,所以平面;同理可得:平面,又平面，所以平面平面,所以点轨迹为平面与平面的交线,即,所以点存在无数个位置满足直线平面,B符合题意;对于C,以为坐标原点,正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，所以,设,所以，则,所以,所以则当时，所以与夹角大于,C不符合题意;对于D,由可得空间直角坐标系如图,则，所以.设平面的法向量,所以令,解得:,所以,又平面轴,所以平面的一个法向量，所以,所以即平面与平面所成锐二面角的正切值为,D符合题意.另由几何法(略)不难解得C错,D正确.故选：ABD.12.已知双曲线的左、右两个顶点分别是,左、右两个焦点分别是是双曲线上异于的一点,给出下列结论,其中正确的是（    ）A.存在点,使得B.存在点,使得直线的斜率的绝对值之和C.使得为等腰三角形的点有且仅有四个D.若,则答案：A、D解析：设.对于A,由双曲线的定义,只需即可,即只需点为线段的中垂线与双曲线的交点,知A正确;对于B,因为,所以，又，所以,故,当且仅当时等号成立,又分析得等号不可能成立,故B错误;对于C,若在第一象限,则当时，为等腰三角形；当时，也为等腰三角形，故点在第一象限且使得为等腰三角形的点有两个.同理,在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点也各有两个，因此使得为等腰三角形的点共有八个,故C错误;对于D,由,得，从而,故D正确.故选：AD.三、填空题13.从长度为的条线段中任取条,则这三条线段能构成一个三角形的概率为         .答案：解析：从条线段中任取条线段的基本事件总数为,能构成三角形的情有:,共个基本事件,故概率为.14.已知直三棱柱的所有顶点都在球的球面上,,,,则球的表面积为         .答案：解析：设和的外心分别为.可知其外接球的球心是线段的中点,连接,设外接球的半径为的外接圆的半径，,作图易得,(或可得,由正弦定理得,所以,)而在中，可知,即,因此三棱柱外接球的表面积为. .故答案为.15.已知双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若,,则的离心率为         .答案：解析:如图,因为,且，所以,又点是的中点,点是的中点,,所以,则,则，所以一条渐近线的斜率为所以,故答案为.16.已知数列满足.(1)若,则          .(2)若对任意正实数,总存在和相邻两项,使得成立,则实数的取值范围是         .答案：（1）；（2）解析：由已知整理得，所以.所以数列是公差为的等差数列，(1)时,.(2).得，因为,故所以，即.从而,即有所以.四、解答题17.在平面直角坐标系中,三个点到直线的距离均为,且.(1)求直线的方程；(2)若圆过点,且圆心在轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为,求圆的标准方程.答案：
见解析解析：(1)由几何意义可知，直线为的三条中位线，而到边的中位线距离为到边的中位线距离为,到边上的中位线距离,故直线只能为边上的中位线,即直线过点.故直线的方程,即; (2)设圆的标准方程为则解得或(舍去),, 所以圆的标准方程为.18.如图,四棱锥中,底面四边形为矩形,平面为中点,为中点,.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.答案：
见解析解析：(1)证明:取的中点,连接,因为为中点,所,因为为中点,所以,因为,所以,所以四边形为平行四边形，所以,因为平面平面, .所以平面; (2)解法一:(几何法)设中点为,连接,则,故到平面的距离等于点到平面的距离.设,垂足为,因为,所以平面,从而平面.设,垂足为,则,故有从而解法二:(等体积法)由已知有,所以平面,故为直角三角形，平面,设点到平面距离为,由,得又，即，解得.解法三:(坐标系法)因为平面平面,所以,因为四边形为矩形，所以,所以两两垂直，所以以点为坐标原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则,因为为中点,所以，所以， 设平面的法向量为，则.令,则, 所以点到平面的距离为.19.月份,有一新款服装投入某市场.月日该款服装仅售出件,以后每天售出的该款服装都比前一天多件,当月某日销售量达到最大(只有天)后,每天售出的该款服装都比前一天少件,已知月日当天刚好售出件.(1)问月几日该款服装销售最多?最多售出几件?(2)按规律,当该市场销售此服装达到件时,社会上就开始流行,而日销售量连续下降并低于件时,则不再流行.问该款服装在社会上流行几天?答案：
见解析解析：(1)设月日售出的服装件数为,最多售出件. 由题意知，解得所以月日该款服装销售最多,最多售出件.(2)设是数列的前项和，因为 所以因为，所以当时,由,得,当时，日销售量连续下降,由,得,所以该款服装在社会上流行天(从月日到月日).20.已知抛物线,其中,过的直线交抛物线于两点.(1)当直线垂直于轴,且为直角三角形,求实数的值；(2)若四边形是平行四边形,当点在直线上时,求实数,使得.答案：
见解析解析：(1)由题意,代入中,解得,不妨取,则即.故或,易知不合题意,舍去,故.(2)由题意四边形为平行四边形，则,设直线,联立,得, 由题意,判别式,,要使,则,又即化简,得,即,代入解得.故时,有.21.已知数列的首项,且满足.(1)求证：数列为等比数列；(2)设数列满足求最小的实数，使得对一切正整数均成立.答案：
见解析解析：(1)证明:由己知得, 所以,因为所以数列是首项为,公比为的等比数列.(2)由(1),当为偶数时, 当为奇数时,故由及数列性质知的最小值为.22.设椭圆的左焦点为.过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点,且.(1)求证:,并求椭圆的方程；(2)设是椭圆上顺时针依次排列的四个点,求四边形面积的最大值并计算此时的的值.答案：
见解析解析：(1)由,得.故,从而,依题意，直线的方程为，由，得即， 又因为，故于是解得,故.(2)由(1)得,故由基本不等式和绝对值不等式从而,取等条件为,且,故有，于是.而同理于是,四边形的面积(考虑在四边形内部和外部)另一方面,当为椭圆四个顶点时,有,故四边形面积的最大值为,且由上述过程知,此时.