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2022-2023学年江西省临川第一中学高二上学期期中质量监测数学试题含答案
展开临川一中2022-20232学年上学期质量监测
高二数学试卷
一、选择题
1.“”是“直线与直线互相垂直”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:
A
解析:
【分析】根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质,从而得到答案.
【详解】若,则直线和直线互相垂直,是充分条件;
若直线与直线互相垂直,则,
因为取任意实数都成立,故不是必要条件;故选:A.
2.已知圆与直线切于点,则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
答案:
A
解析:
【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程.
【详解】圆可化为,
所以点与圆心连线所在直线的斜率为,
则所求直线的斜率为,由点斜式方程,可得,
整理得.故选:A.
3.是椭圆上一点,,是该椭圆的两个焦点,且,则( )
A. B. C. D.
答案:
A
解析:
【分析】首先将椭圆方程化成标准形式,进而得出椭圆长半轴长,再根据椭圆定义即可求解.
【详解】对椭圆方程变形得,易知椭圆长半轴的长为,
由椭圆的定义可得,又,故.故选:A.
4.已知函数若,则的值为( )
A. B. C. D.或
答案:
C
解析:
【分析】由题可得或,即求.
【详解】∵函数,,
∴或,解得.故选:C.
5.已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为( )
A. B. C. D.
答案:
C
解析:
【分析】由得焦点三角形为直角三角形,结合勾股定理与椭圆定义可得,再由面积公式可得齐次方程,进而求出离心率
【详解】由得,则,
由椭圆定义可知:,
所以,即,
所以,又,
所以,即,故的离心率为.故选:C.
6.如图,何尊是我国西周早期的青铜礼器,其造型浑厚,工艺精美,尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载,何尊还是第一个出现“德”字的器物,证明了周王朝以德治国的理念,何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体,组合体的高约为,上口直径约为,经测量可知圆台的高约为,圆柱的底面直径约为,则该组合体的体积约为( )(其中的值取)
A. B. C. D.
答案:
D
解析:
【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解.
【详解】由题意得圆柱的高约为,
则何尊的体积,
故选:D.
7.函数与在上最多有个交点,交点分别为,则( )
A. B. C. D.
答案:
C
解析:
【分析】根据直线和关于点对称,结合图象,得出直线与最多有个交点,根据对称性,即可得出的值.
【详解】由题可知:直线过定点,
且在是关于对称,如图
通过图像可知:直线与最多有个交点,
同时点左、右边各四个交点关于对称,所以,
故选:C.
8.已知双曲线的上焦点为,是双曲线下支上的一点,线段与圆相切于点,且,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
答案:
D
解析:
【分析】由圆的方程求出圆心坐标,设出点的坐标,由题意列式求出的坐标,再结合,求得的坐标,再把的坐标代入双曲线的方程,即可求得答案.
【详解】由得,
则该圆的圆心坐标为,半径为,
设切点,可知,
则,解得,,由,
得,得:,
代入双曲线,整理得:,
双曲线的渐近线方程为.故选:D.
二、多选题
9.关于直线,下列说法正确的是( )
A.直线在轴上的截距为
B.当时,直线的倾斜角为
C.当时,直线不经过第二象限
D.当时,直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
答案:
B、C、D
解析:
【分析】利用直线方程的斜截式的性质,逐项分析即可.
【详解】对于A,直线可化为,由斜截式可知直线在轴上的截距为,故A错误;
对于B,当时,直线为,即,故直线的倾斜角为,故B正确;
对于C,当时,有,在轴上的截距为,
如图易得直线不经过第二象限,故C正确;对于D,当时,
直线为,如图,
易知直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形,且两条边长度都为,
故,故D正确;故选:BCD.
10.若实数,满足,则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
答案:
B、C、D
解析:
【分析】根据给定条件,求出,的关系,再利用不等式性质判断A,B;指对数函数、幂函数单调性分析判断C,D作答.
【详解】因,则,于是有,A不正确;
,即,B正确;
由得:,
因此,,C正确;因,函数在上单调递减,
函数在上单调递增,则,D正确.故选:BCD.
11.已知双曲线的左、右两个顶点分别是,左、右两个焦点分别是,,是双曲线上异于,的任意一点,给出下列结论,其中正确的是( )
A.
B.直线,的斜率之积等于定值
C.使得为等腰三角形的点有且仅有四个
D.若,则
答案:
B、D
解析:
【分析】由双曲线的定义,可判定A错误;由,结合双曲线的方程,得到,所以B正确;结合双曲线的几何性质,可判定C错误;结合,得到,可判定D正确.
【详解】由题意,点是双曲线上异于,的任意一点,设,
对于A中,由双曲线的定义知,,所以A错误;
对于B中,由,,可得,
又由,所以,可得,所以B正确;
对于C中,若在第一象限,则当时,,
为等腰三角形;当时,,也为等腰三角形,
故点在第一象限且使得为等腰三角形的点有两个.
同理可得,在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点也各有两个,
因此使得为等腰三角形的点共有八个,所以C错误.
对于D中,由,得,
从而,所以D正确.故选:BD.
12.已知圆,直线,直线与圆交于,两点,则下列说法正确的是( )
A.直线恒过定点
B.的最小值为
C.的取值范围为
D.当最小时,其余弦值为
答案:
A、B、C
解析:
【分析】A.直线方程变形为,即可判断定点坐标;B.根据定点是弦的中点时,此时最短;C.根据向量数量积公式,转化为求的最值;D.根据C即可判断.
【详解】A.直线,即,直线恒过点,
故A正确;B.当定点是弦的中点时,此时最短,
圆心和定点的距离时,此时,故B正确;
C.当最小时,最小,此时,
此时,当是直径时,
此时最大,,此时,
所以的取值范围为,故C正确;
D.根据C可知当最小时,其余弦值为,故D错误.故选:ABC.
三、填空题
13.两个焦点坐标分别是,,且经过点的椭圆的标准方程 .
答案:
解析:
【分析】根据椭圆焦点坐标可得,由椭圆所过点可得,由可确定椭圆方程.
【详解】椭圆焦点为,,位于轴上,,
又椭圆过点,,则,椭圆的标准方程为:.
14.已知,分别为椭圆的左,右焦点,直线与椭圆的一个交点为,若,则椭圆的离心率为 .
答案:
解析:
【分析】由直线过原点及斜率,,可得,再结合椭圆定义,在焦点三角形通过勾股定理构建齐次方程,即可求出离心率.
【详解】由题可知,为直角三角形,,
直线过原点,,故,
又,则,
在中,,即,
又,解得:或(舍去).故答案为:.
15.已知的,,所对这分别的,,.若,,且的面积是,则 .
答案:
解析:
【分析】根据题意,先求出,再分别求出边长,,,即可求出.
【详解】根据题意,中,若,
则.
又由的面积是,即,则有,
又由,解得:,.
由余弦定理得:,
则.所以,所以.故答案为:.
16.已知椭圆的两个焦点为,,为椭圆上任意一点,点为的内心,则的最大值为 .
答案:
解析:
【分析】设,内切圆的半径为,
由三角形面积公式建立等式可得,
由勾股定理求出焦半径,,
由内切圆性质建立等式,可得,
结合在椭圆上消去得,
则可设,,则由辅助角公式可求得最大值.
【详解】设,内切圆的半径为,
所以,
则,设椭圆的左右焦点为,,
则,
同理,
又内切圆的性质得,
所以,消去得,即,
又因为,,所以,
设,,则,
所以的最大值为,故答案为:.
四、解答题
17.已知的顶点,,.
(1)求边上的中线所在直线的方程;
(2)求经过点,且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.
答案:
见解析
解析:
【分析】(1)先利用中点坐标公式求出线段的中点,再利用两点式即可求出所求;
(2)分类讨论截距是否为的情况,再利用截距式即可求得所求.
【详解】
(1)线段的中点为,
则中线所在直线方程为:,即.
(2)设两坐标轴上的截距为,,
若,则直线经过原点,斜率,
直线方程为,即;
若,则设直线方程为,即,
把点代入得,即,直线方程为;
综上,所求直线方程为或.
18.已知直线与轴,轴围成的三角形面积为,圆的圆心在直线上,与轴相切,且在轴上截得的弦长为.
(1)求直线的方程(结果用一般式表示);
(2)求圆的标准方程.
答案:
见解析
解析:
【分析】(1)根据直线的方程,分别求得直线在坐标轴上的截距,利用围成的三角形的面积,列出方程,即可求解得值,得到直线的方程;
(2)设所求圆的标准方程为,根据题意列出方程组,求得,,的值,即可得到圆的方程.
【详解】(1)在直线方程中,令,得,
令,得,故,又故,
∴所求直线方程为:.
(2)设所求圆的标准方程为:,
由题可知联立求解得:
故所求圆的标准方程为:或.
19.如图,在正三棱柱中,,为棱的中点.
(1)证明:平面;
(2)求点到平面的距离.
答案:
见解析
【分析】(1)由线面平行的判定定理证明.
(2)由等体积法求解.
【详解】
(2)连接交于,连接,
正三棱柱中,易得为中点,又为的中点,
所以,因为平面,平面,所以平面;
(2)因为平面,所以与到平面的距离相等,
由题意得,,,
因为,所以,
所以,,
设到平面的距离为,则,
所以,所以,即点到平面的距离为.
20.在平面五边形中,已知,,,,,.
(1)当时,求;
(2)当五边形的面积时,求的取值范围.
答案:
见解析
解析:
【分析】(1)根据余弦定理,结合五边形内角和定理进行求解即可;
(2)根据五边形的面积,结合梯形面积公式进行求解即可;
【详解】
(1)连结,在中,,,
由余弦定理可得,
,所以,同时可得,
,又由五边形内角和可求得,
所以,进而四边形为等腰梯形过点作于,
可求得,进而;
(2),
又,所以,
设边长为,所以,,
则,
化简整理得,解得,或,
又,,所以的取值范围是.
21.已知双曲线的一条渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程与离心率;
(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的,两点,为坐标原点,直线,的斜率之积为,求的面积.
答案:
见解析
解析:
【分析】(1)依题意用点到直线的距离公式列方程可得,然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解;
(2)设直线方程联立双曲线方程消元,利用韦达定理表示出直线,的斜率可得直线的方程,数形结合可解.
【详解】
(1)由题意知焦点到渐近线的距离为,
则,因为一条渐近线方程为,所以,
又,解得,,所以双曲线的标准方程为,
离心率为.
(2)设直线,,,
联立则,
所以,,由
,解得或(舍去),
所以,,,令,得,
,
所以的面积为.
22.如图,椭圆的两顶点,,离心率,过轴上的点的直线与椭圆交于,两点,并与轴交于点,直线与直线交于点.
(1)当且时,求直线的方程;
(2)当点异于,两点时,设点与点横坐标分别为,,是否存在常数使成立,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案:
见解析
解析:
【分析】(1)先求得椭圆的方程,再以设而不求的方法即可求得直线的方程;
(2)先以设而不求的方法得到、的解析式,再去计算是否为定值即可解决.
【详解】
(1)椭圆的方程,由题可得;
由,结合,得,椭圆的标准方程:;
当直线的斜率不存在时,,与题意不符,
故设直线的方程为,代入椭圆方程,
整理得,设,,
,;
,
解得.则直线的方程为或.
(2)当直线的斜率不存在时,直线与轴重合,
由椭圆的对称性可知直线与直线平行,不符合题意;
由题意可设直线的方程:代入椭圆方程,
得;设,,
,;①,
直线的方程为②,
则直线的方程为③,
由②③得,
由①代入,得,
解得,即;且知;(常数),
即点与点横坐标之积为定值.故存在常数.
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