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    2022-2023学年江西省临川第一中学高二上学期期中质量监测数学试题含答案

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    这是一份2022-2023学年江西省临川第一中学高二上学期期中质量监测数学试题含答案,共24页。试卷主要包含了选择题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

      临川一中2022-20232学年上学期质量监测

    高二数学试卷

    一、选择题

    1.直线与直线互相垂直的(  

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    答案:

    A

    解析:

    【分析】根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质,从而得到答案.

    【详解】,则直线和直线互相垂直,是充分条件;

    若直线与直线互相垂直,则

    因为取任意实数都成立,故不是必要条件;故选:A

    2.已知圆与直线切于点,则直线的方程为(  

    A. B.

    C. D.

    答案:

    A

    解析:

    【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程.

    【详解】可化为

    所以点与圆心连线所在直线的斜率为

    则所求直线的斜率为,由点斜式方程,可得

    整理得.故选:A.

    3.是椭圆上一点,是该椭圆的两个焦点,且,则  

    A. B. C. D.

    答案:

    A

    解析:

    【分析】首先将椭圆方程化成标准形式,进而得出椭圆长半轴长,再根据椭圆定义即可求解.

    【详解】对椭圆方程变形得,易知椭圆长半轴的长为

    由椭圆定义可得,故.故选:A.

    4.已知函数,则的值为(  

    A. B. C. D.

    答案:

    C

    解析:

    【分析】由题可得,即求.

    【详解】∵函数

    ,解得.故选:C.

    5.已知是椭圆的两个焦点,上的一点,若,且,则的离心率为(  

    A. B. C. D.

    答案:

    C

    解析:

    【分析】得焦点三角形为直角三角形,结合勾股定理与椭圆定义可得,再由面积公式可得齐次方程,进而求出离心率

    【详解】,则

    由椭圆定义可知:

    所以,即

    所以,又

    所以,即,故的离心率为.故选:C.

    6.如图,何尊是我国西周早期的青铜礼器,其造型浑厚,工艺精美,尊内底铸铭文中的宅兹中国中国一词最早的文字记载,何尊还是第一个出现字的器物,证明了周王朝以德治国的理念,何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体,组合体的高约为,上口直径约为,经测量可知圆台的高约为,圆柱的底面直径约为,则该组合体的体积约为(   )(其中的值取

    A. B. C. D.

    答案:

    D

    解析:

    【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解.

    【详解】由题意得圆柱的高约为

    则何尊的体积

    故选:D

    7.函数上最多有个交点,交点分别为,则  

    A. B. C. D.

    答案:

    C

    解析:

    【分析】根据直线关于点对称,结合图象,得出直线最多有个交点,根据对称性,即可得出的值.

    【详解】由题可知:直线过定点

    是关于对称,如图

    通过图像可知:直线最多有个交点,

    同时点左、右边各四个交点关于对称,所以

    故选:C.

    8.已知双曲线的上焦点为是双曲线下支上的一点,线段与圆相切于点,且,则双曲线的渐近线方程为(  

    A. B.

    C. D.

    答案:

    D

    解析:

    【分析】由圆的方程求出圆心坐标,设出点的坐标,由题意列式求出的坐标,再结合,求得的坐标,再把的坐标代入双曲线的方程,即可求得答案.

    【详解】

    则该圆的圆心坐标为,半径为

    设切点,可知

    ,解得

    ,得:

    代入双曲线,整理得:

    双曲线的渐近线方程为.故选:D.

    二、多选题

    9.关于直线,下列说法正确的是(  

    A.直线轴上的截距为

    B.时,直线的倾斜角为

    C.时,直线不经过第二象限

    D.时,直线与两坐标轴围成的三角形的面积是

    答案:

    B、C、D

    解析:

    【分析】利用直线方程的斜截式的性质,逐项分析即可.

    【详解】对于A,直线可化为,由斜截式可知直线轴上的截距为,故A错误;

    对于B,当时,直线,即,故直线的倾斜角为,故B正确;

    对于C,当时,,在轴上的截距为

    如图易得直线不经过第二象限,故C正确;对于D,当时,

    直线,如图,

    易知直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形,且两条边长度都为

    ,故D正确;故选:BCD.

    10.若实数满足,则下列结论中正确的是(  

    A. B.

    C. D.

    答案:

    B、C、D

    解析:

    【分析】根据给定条件,求出的关系,再利用不等式性质判断AB;指对数函数、幂函数单调性分析判断CD作答.

    【详解】,则,于是有A不正确;

    ,即B正确;

    得:

    因此,C正确;因,函数上单调递减,

    函数上单调递增,则D正确.故选:BCD.

    11.已知双曲线的左、右两个顶点分别是左、右两个焦点分别是是双曲线上异于的任意一点,给出下列结论,其中正确的是(  

    A.

    B.直线的斜率之积等于定值

    C.使得为等腰三角形的点有且仅有四个

    D.,则

    答案:

    B、D

    解析:

    【分析】由双曲线的定义,可判定A错误;由,结合双曲线的方程,得到,所以B正确;结合双曲线的几何性质,可判定C错误;结合,得到,可判定D正确.

    【详解】由题意,点是双曲线上异于的任意一点,设

    对于A中,由双曲线的定义知,,所以A错误;

    对于B中,由,可得

    又由,所以,可得,所以B正确;

    对于C中,若在第一象限,则当时,

    为等腰三角形;当时,也为等腰三角形,

    故点在第一象限且使得为等腰三角形的点有两个.

    同理可得,在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点也各有两个,

    因此使得为等腰三角形的点共有八个,所以C错误.

    对于D中,由,得

    从而,所以D正确.故选:BD

    12.已知圆,直线,直线与圆交于两点,则下列说法正确的是(  

    A.直线恒过定点

    B.的最小值为

    C.的取值范围为

    D.最小时,其余弦值为

    答案:

    A、B、C

    解析:

    【分析】A.直线方程变形为,即可判断定点坐标;B.根据定点是弦的中点时,此时最短;C.根据向量数量积公式,转化为求的最值;D.根据C即可判断.

    【详解】A.直线,即,直线恒过点

    A正确;B.当定点是弦的中点时,此时最短,

    圆心和定点的距离时,此时,故B正确;

    C.最小时,最小,此时

    此时,当是直径时,

    此时最大,,此时

    所以的取值范围为,故C正确;

    D.根据C可知当最小时,其余弦值为,故D错误.故选:ABC.

    三、填空题

    13.两个焦点坐标分别是,且经过点的椭圆的标准方程        .

    答案:

    解析:

    【分析】根据椭圆焦点坐标可得,由椭圆所过点可得,由可确定椭圆方程.

    【详解】椭圆焦点为,位于轴上,

    又椭圆过点,则椭圆的标准方程为:.

    14.已知分别为椭圆的左,右焦点,直线与椭圆的一个交点为,若,则椭圆的离心率为        .

    答案:

    解析:

    【分析】由直线过原点及斜率,,可得,再结合椭圆定义,在焦点三角形通过勾股定理构建齐次方程,即可求出离心率.

    【详解】由题可知,为直角三角形,

    直线过原点,故

    ,则

    中,,即

    ,解得:(舍去).故答案为:.

    15.已知所对这分别的.若,且的面积是,则        .

    答案:

    解析:

    【分析】根据题意先求出,再分别求出边长,即可求出.

    【详解】根据题意

    .

    又由的面积是则有

    又由,解得:.

    由余弦定理得:

    .所以,所以.故答案为.

    16.已知椭圆的两个焦点为为椭圆上任意一点,点的内心,则的最大值为        .

    答案:

    解析:

    【分析】,内切圆的半径为

    由三角形面积公式建立等式可得

    由勾股定理求出焦半径

    由内切圆性质建立等式,可得

    结合在椭圆上消去

    则可设,则由辅助角公式可求得最大值.

    【详解】,内切圆的半径为

    所以

    ,设椭圆的左右焦点为

    同理

    又内切圆的性质得

    所以,消去,即

    又因为,所以

    ,则

    所以的最大值为,故答案为:.

    四、解答题

    17.已知的顶点.

    (1)边上中线所在直线的方程;

    (2)求经过点,且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.

    答案:

    见解析

    解析:

    【分析】1)先利用中点坐标公式求出线段的中点,再利用两点式即可求出所求;

    2)分类讨论截距是否为的情况,再利用截距式即可求得所求.

    【详解】

    1)线段的中点为

    则中线所在直线方程为:,即.

    (2)设两坐标轴上的截距为

    ,则直线经过原点,斜率

    直线方程为,即

    ,则设直线方程为,即

    把点代入得,即,直线方程

    综上,所求直线方程为.

    18.已知直线轴,轴围成的三角形面积为,圆的圆心在直线上,与轴相切,且在轴上截得的弦长为.

    (1)求直线的方程(结果用一般式表示);

    (2)求圆的标准方程.

    答案:

    见解析

    解析:

    【分析】(1)根据直线的方程,分别求得直线在坐标轴上的截距,利用围成的三角形的面积,列出方程,即可求解得值,得到直线的方程;

    (2)设所求圆的标准方程为,根据题意列出方程组,求得的值,即可得到圆的方程.

    【详解】(1)在直线方程中,令,得

    ,得

    ∴所求直线方程为:.

    (2)设所求圆的标准方程为:

    由题可知联立求解得:

    故所求圆的标准方程为:.

    19.如图,在正三棱柱中,为棱的中点.

    (1)证明:平面

    (2)求点到平面的距离.

    答案:

    见解析

    【分析】1)由线面平行的判定定理证明.

    2)由等体积法求解.

    【详解】

    (2)连接,连接

    正三棱柱中,易得中点,又的中点,

    所以,因为平面平面,所以平面

    (2)因为平面,所以到平面的距离相等,

    由题意得

    因为,所以

    所以

    到平面的距离为,则

    所以,所以,即点到平面距离为

    20.在平面五边形中,已知.

    (1)时,求

    (2)当五边形的面积时,求的取值范围.

    答案:

    见解析

    解析:

    【分析】1)根据余弦定理,结合五边形内角和定理进行求解即可;

    2)根据五边形的面积,结合梯形面积公式进行求解即可;

    【详解】

    1)连结,在中,

    由余弦定理可得,

    ,所以,同时可得

    ,又由五边形内角和可求得

    所以,进而四边形为等腰梯形过点

    可求得进而

    (2)

    ,所以

    边长为,所以

    化简整理得,解得,或

    ,所以的取值范围是.

    21.已知双曲线的一条渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为

    (1)求双曲线的标准方程与离心率;

    (2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点,为坐标原点,直线的斜率之积为,求的面积.

    答案:

    见解析

    解析:

    【分析】1)依题意用点到直线的距离公式列方程可得,然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解;

    2)设直线方程联立双曲线方程消元,利用韦达定理表示出直线的斜率可得直线的方程,数形结合可解.

    【详解】

    (1)由题意知焦点到渐近线的距离为

    因为一条渐近线方程为,所以

    ,解得,所以双曲线的标准方程为

    离心率为

    (2)设直线

    联立

    所以

    解得(舍去),

    所以,令,得

    所以的面积为.

    22.如图,椭圆的两顶点,离心率,过轴上的点的直线与椭圆交于两点,并与轴交于点,直线与直线交于点.

    (1)时,求直线的方程;

    (2)当点异于两点时,设点与点横坐标分别为,是否存在常数使成立,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

    答案:

    见解析

    解析:

    【分析】1)先求得椭圆的方程,再以设而不求的方法即可求得直线的方程;

    2)先以设而不求方法得到的解析式,再去计算是否为定值即可解决.

    【详解】

    1)椭圆的方程,由题可得

    ,结合,得,椭圆的标准方程:

    当直线的斜率不存在时,,与题意不符,

    故设直线的方程为,代入椭圆方程

    整理得,设

    解得.则直线的方程为.

    (2)当直线的斜率不存在时,直线轴重合,

    由椭圆的对称性可知直线与直线平行,不符合题意;

    由题意可设直线的方程:代入椭圆方程,

    ;设

    ①,

    直线的方程为②,

    则直线的方程为③,

    由②③得

    由①代入,得

    解得,即;且知(常数),

    即点与点横坐标之积为定值.故存在常数.

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