2022-2023学年北京市丰台区高一上学期数学期末试题含解析

2022-2023学年北京市丰台区高一上学期数学期末试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用集合的并集运算求解.

【详解】解：因为集合，，

所以，

故选：D

2．已知a为实数，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据，但，得到答案.

【详解】，但，比如，

则“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

3．化简后等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.

【详解】因为，

故选：.

4．已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由条件可得函数在上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据，可得，进而得出结论.

【详解】因为偶函数在区间上单调递减，

所以函数在上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，

又，所以，

故选：.

5．已知函数，则它的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数，求得，结合零点的存在定理，即可求解.

【详解】由题意，函数，

可得，即，

由零点的存在定理，可得函数的零点所在的区间为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了函数的零点存在定理得应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，结合零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

6．已知，则的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】将式子变形为，然后利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

则

（当且仅当，也即时取等号）

所以的最小值为，

故选：.

7．声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满足．火箭发射时，声音的等级约为；一般噪音时，声音的等级约为，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（    ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】C

【分析】根据声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满足．分别求得火箭发射时和一般噪音时的声音强度求解.

【详解】解：因为火箭发射时，声音的等级约为，

所以，解得；

因为一般噪音时，声音的等级约为，

所以，解得，；

所以火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的倍，

故选：C

8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数、对数函数单调性并借助特殊值1为“桥梁”，即可判断作答.

【详解】因函数在上单调递减，而，于是得，

函数在R上单调递减，而，于是得又，

即，所以.

故选：A

9．在某校举办的“学宪法，讲宪法”活动中，每个学生需进行综合测评，满分为10分，学生得分均为整数．其中某年级1班和2班两个班级学生的得分分布条形图如下：

给出下列四个结论：

①1班学生得分的平均分大于2班学生得分的平均分；

②1班学生得分的方差小于2班学生得分的方差；

③1班学生得分的第90百分位数等于2班学生得分的第90百分位数；

④若两班中某同学得分为7分，且在他所在的班级属于中上水平，则该同学来自1班．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

【答案】D

【分析】①分别求得平均分比较； ②分别求得方差比较；③分别求得第90百分位数比较；④由低于7分的人数判断.

【详解】①1班学生得分的平均分,

2班学生得分的平均分,故错误；

②1班学生得分的方差:

，

；

2班学生得分的方差，

,故错误；

③1班学生得分的第90百分位数是9，2班学生得分的第90百分位数是9，故正确；

④若两班中某同学得分为7分，1班低于7分的是24人，2班低于7分的是10人，

因为他所在的班级属于中上水平，则该同学来自1班，故正确．

故选：D

10．已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则t的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由时， ，利用得到，，且，在求得时的解析式，由求解.

【详解】解：当时，，

则在上递增，在上递减，且，

由知：时，，

时，，且在上递增，在上递减，

因为，当时， ，

因为，

所以，

令，解得，

所以满足，的t的最大值是，

故选：C

二、填空题

11．已知幂函数的图象经过点，则________．

【答案】

【分析】根据题意，将点的坐标代入函数即可求出函数的解析式，然后将代入即可求解.

【详解】因为幂函数的图象经过点，

所以，则，所以，

则，

故答案为：.

12．函数的定义域是_____________．

【答案】

【详解】试题分析：函数有意义得：，解得即函数定义域为．

【解析】求函数定义域．

13．能说明“，”是假命题的一个实数a的取值是________．

【答案】(中任一值均可)

【分析】根据题意可知：命题为真命题，列出不等式解之即可.

【详解】因为命题：，为假命题，

所以命题：为真命题，

也即成立，所以，

故答案为：4（中的任一值均可）

14．已知函数给出下列四个结论：

①当时，；

②若存在最小值，则a的取值范围为；

③若存在零点，则a的取值范围为；

④若是减函数，则a的取值范围为．

其中所有正确结论的序号是________．

【答案】①②④

【分析】根据所给分段函数直接计算求解可判断①，根据分段函数的最小值的求法判断②，分段求函数的零点可判断③，根据分段函数的单调性结合二次函数、一次函数的单调性可求解判断④.

【详解】①当时，，，故①正确；

②当时，有最小值0，此时为减函数，且，无最小值，故无最小值，

当时，无最小值，无最小值，

故无最小值，

当时，为增函数，最小值为，单调递减，所以只需满足，解得或，所以，故②正确；

③令若有解，则，令若有解，则，解得或，综上若存在零点，则a的取值范围为，故③错误；

④若是减函数，则需满足且且，解得或，故④正确.

故答案为：①②④

三、解答题

15．某校高中部有高一学生600人，高二学生480人，高三学生420人．某研究小组为了调查该校高中部不同年级学生课后作业量的情况，现采用分层随机抽样的方法在三个年级共抽取100名学生，应抽取高一学生的人数为多少？

【答案】40

【分析】利用分层抽样比求解.

【详解】解：应抽取高一学生的人数为

    .

16．已知关于x的不等式的解集为．

(1)求实数a，b的值；

(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得，求实数m的取值范围．

条件①：集合；

条件②：集合．

注：如果选择多个条件分别作答，挍第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)详见解析；

【分析】（1）根据不等式的解集为，由求解；

（2）选①集合，根据，由求解；选②集合，分和 两种情况，根据求解.

【详解】（1）解：因为关于x的不等式的解集为,

所以 ，解得；

（2）选①集合，

因为，

所以，解得 ，

所以实数m的取值范围．

选②集合，

当时，，解得，符合题意；

当时，则，，

综上：实数m的取值范围．

17．如图，在平行四边形ABCD中，，．设，．

(1)用，表示，；

(2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线．

【答案】(1)，；

(2)答案见详解.

【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，可得，由结合已知可得；

（2）根据可推出，即.再根据有公共点，可证得三点共线.

【详解】（1）解：根据向量加法的平行四边形法则，可得.

.

（2）证明：由（1）知，，所以，

所以，

所以，，共线.

又直线，直线有公共点，

所以，，，三点共线.

18．某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)求样本中停车时长在区间上的频率；

(2)若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数；

(3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议．

【答案】(1)

(2)

(3)不超过分钟

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1求解.

（2）先算出区间上的频率，然后再求间上的车辆数.

（3）求得是第25百分位数.

【详解】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设的频率为，可列等式为

所以样本中停车时长在区间上的频率为

（2）根据频率分布直方图可知在区间上的频率为，所以计该天停车时长在区间上的车辆数为：

（3）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间，则满足

确定免费停车时长为不超过分钟.

19．已知函数．

(1)判断的奇偶性，并证明；

(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出的图象，并写出该函数的值域；

(3)写出不等式的解集．

【答案】(1)详见解析；

(2)详见解析；

(3)详见解析.

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断；

（2）利用指数函数的图象和性质求解；

（3）在同一坐标系中，作出函数的图象求解.

【详解】（1）解：的定义域为R，关于原点对称，

又，

所以是偶函数；

（2）的图象如图所示：

由函数的图象知：函数的值域；

（3）在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示：

，

由图象知：不等式的解集为： .

20．已知函数．

(1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明；

(2)设，若，，使得，求实数a的取值范围．

【答案】(1)单调递增，证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；

（2）由函数单调性求出函数值域，若，，使得可转化为值域的包含关系，建立不等式求解即可.

【详解】（1）在区间上的单调递增，证明如下：

设且，

则，

因为，所以，，，

所以，即，

所以在区间上的单调递增.

（2）由（1）知时，，即时，，

因为当时为减函数，所以，

若，，使得，则,

即，解得，

故实数a的取值范围为

21．已知集合．若集合A是U的含有个元素的子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U的“k元零子集”．将U的所有“k元零子集”的个数记为．

(1)写出U的所有“2元零子集”；

(2)求证：当，且时，；

(3)求的值．

【答案】(1)；

(2)详见解析；

(3)31

【分析】（1）根据“k元零子集”的定义列举；

（2）根据“k元零子集”的定义列举；

（3）由（2）的结论求解.

【详解】（1）解：因为，

所以U的所有“2元零子集”是；

（2）当时，1元零子集是，则；

当时，2元零子集是，则；

当时，3元零子集是，则；

当时，4元零子集是

，则；

当时，5元零子集是

，则；

当时，6元零子集是

，则；

当时，7元零子集是

，则；

当时，，8元零子集是，则，

故当，且时，；

（3）由（2）知：，

.