2022-2023学年湖南省衡阳市第八中学高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市第八中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．与角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由终边相同的角的性质即可求解.

【详解】因为与角终边相同的角是，，

当时，这个角为，

只有选项D满足，其他选项不满足.

故选：D.

2．不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．

【详解】解：

解得：.

故选：C.

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．

【详解】解：因为，所以，

，，

或，

当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；

当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件．

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A

4．函数的零点所在的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由零点的存在性定理求解即可

【详解】∵，，

，，

根据零点的存在性定理知，

函数的零点所在区间为．

故选：B

5．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.

【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，

又因为，所以，，整理可得，

因为且，解得.

故选：D.

6．函数（，）的部分图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析式可求，取可得的值.

【详解】由图像可得函数的最小正周期为，则.

又，则，

则，，则，，

，则，，则，

.

故选：A.

【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图像求函数解析式的方法：

（1）求、，；

（2）求出函数的最小正周期，进而得出；

（3）取特殊点代入函数可求得的值.

7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A．，， B．

C．，， D．，，

【答案】C

【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范围.

【详解】解：根据题意，函数，

若在区间上单调递减，必有，

解可得：或，即的取值范围为，，，

故选：C．

8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系．

【详解】分别对，，两边取对数，得，，．

．

由基本不等式，得:

，

所以，

即，所以．

又，所以.

故选：D．

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

A．若a>b，则

B．若-2<a<3，1<b<2，则-3<a-b<1

C．若a>b>0，m>0，则

D．若a>b，c>d，则ac>bd

【答案】AC

【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.

【详解】对于A，因c2+1>0，于是有>0，而a>b，由不等式性质得，A正确；

对于B，因为1<b<2，所以-2<-b<-1，同向不等式相加得-4<a-b<2，B错误；

对于C，因为a>b>0，所以，又因为m>0，所以，C正确；

对于D，且，而，即ac>bd不一定成立，D错误.

故选：AC

10．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用诱导公式、指数幂的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，；

对于B选项，；

对于C选项，；

对于D选项，.

故选：ABD.

11．已知函数，，则（    ）

A．函数为偶函数

B．函数为奇函数

C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0

D．设，则的解集为

【答案】BCD

【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案

【详解】对于A：，定义域为，，

则为奇函数，故A错误；

对于B：，定义域为，

，

则为奇函数，故B正确；

对于C：，，都为奇函数，

则为奇函数，

在区间上的最大值与最小值互为相反数，

必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；

对于D：，则在上为减函数，

，则在上为减函数，

则在上为减函数，

若即，

则必有，解得，

即的解集为，故D正确；

故选：BCD

12．已知函数，则（    ）

A．函数的最小正周期为

B．直线是图象的一条对称轴

C．是图象的一个对称中心

D．若时，在区间上单调，则的取值范围是或

【答案】BCD

【分析】根据函数的周期是函数周期的一半，可判断A选项；

对于B，将代入函数解析式求值，判断是否为函数的对称轴即可；

对于C，将代入函数解析式求值，判断是否为函数的对称中心即可；

对于D选项，时，在区间上单调，可得或，最后求得的取值范围即可.

【详解】因为函数的最小正周期为，

而函数周期为，故A错误；

当时，，

所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；

当时，，

所以是图象的一个对称中心，故C正确；

时，在区间上单调，

即，

所以或，

解得或，故D正确.

故选：BCD．

三、填空题

13．若函数的最小正周期是，则的取值可以是______．（写出一个即可）．

【答案】2或-2（写一个即可）

【分析】利用正切函数的周期公式求解即可.

【详解】由题知，，

即：，

解得：.

故答案为：2或-2（写一个即可）.

14．已知函数，若，则_____________.

【答案】0

【分析】利用正弦函数的奇偶性可以得到，进而得到结果..

【详解】因为，，所以，

因为则0,

故答案为：0.

15．设函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据函数新定义求出函数解析式，画出函数的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t的范围.

【详解】由题意知，令，解得，

根据，得，

作出函数的图象如图所示，

由方程有3个不等的根，

得函数图象与直线有3个不同的交点，

由图象可得，当时函数图象与直线有3个不同的交点，

所以t的取值范围为.

故答案为：

16．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，作出可知，满足条件可最短区间长度为，最长区间长度为，由此建立关于的不等式，解出即可．

【详解】令，则，令，则，

则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，

作出与的图象，如图所示，

由图可知，满足条件可最短区间长度为，最长区间长度为，

∴，解得．

故答案为：．

四、解答题

17．已知f（α）＝．

(1)化简f（α）；

(2)若α＝，求f（α）的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据诱导公式即可求解；（2）根据诱导公式代入即可求解；

【详解】（1）

（2），

所以.

18．已知，集合，集合.

(1)求集合；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数函数的单调解不等式即可；

（2）先求，再分类讨论并满足可得答案.

【详解】（1）

解得，故

（2）由（1）

当时，，满足题意；

当时，，只需；

当时，，满足题意.

综上所述，.

19．已知函数，，且该函数的图象经过点，.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）已知直线与x轴交于点T，且与函数的图像只有一个公共点.求的最大值.（其中O为坐标原点）

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）1.

【分析】（Ⅰ）根据已知点的坐标，利用函数的解析式，得到关于的方程组，求解即得;

（Ⅱ）设,则直线方程可以写成, 与函数联立，消去，利用判别式求得，利用二次函数的性质求得取得最大值1，进而得到的最大值.

【详解】（Ⅰ）由已知得，解得;

（Ⅱ）设,则直线方程可以写成,与函数联立，消去，并整理得

由已知得判别式,

当时，取得最大值1，所以.

20．比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：

为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；．

(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；

(2)现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶，高速上行驶．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？

【答案】(1)选①，

(2)当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为最少，最少为．

【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.

【详解】（1）解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，

对于②，当时，，又，

所以，故不符合题意，故选①，

由表中的数据可得，，解得

∴．

（2）解：高速上行驶，所用时间为，

则所耗电量为，

由对勾函数的性质可知，在上单调递增，

∴，

国道上行驶，所用时间为，

则所耗电量为，

∵，∴当时，，

∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，

该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少，最少为．

21．已知，.

(1)当且是第四象限角时，求的值；

(2)若关于的方程有实数根，求的取值范围.（）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由同角三角函数的平方关系求出、的值，再结合立方差公式可求得所求代数式的值；

（2）由已知可得出，，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，由参变量分离法可得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围，综合可得结果.

【详解】（1）解：因为，即，则，

即，

所以.

因为是第四象限角，则，，所以，所以，

所以.

（2）解：由，可得，

则方程可化为，.

①当时，，显然方程无解；

②当时，方程等价于.

当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，又，

故，

所以要使得关于的方程有实数根，则.

故的取值范围是.

22．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.

(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：

(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；

(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.

【答案】(1)不是，理由见解析；

(2)；

(3)或.

【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.

(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.

(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.

【详解】（1）假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，

即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，

而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，

所以函数不是 “自均值函数”.

（2）依题意，存在，对于，存在，有，即，

当时，的值域是，因此在的值域包含，

当时，而，则，

若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，

于是得，，要在的值域包含，

则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，

从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，

所以的取值范围是.

（3）依题意，存在，对于，存在，有，即，

当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，

当时，在单调递增，在的值域是，

由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，

当时，函数的对称轴为，

当，即时，在单调递增，在的值域是，

由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，

当，即时，，，，，

由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，

由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；

综上得：或，

所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.

【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.