2023届高考数学二轮复习函数模型及其应用作业含答案

（8）函数模型及其应用

1.由于某地人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年20%的比例降低.若要求患病率低于当前患病率的，则至少需要经过___________时间.(参考数据：，)(   )

A.4年 B.5年 C.6年 D.7年

2.随着智能手机的普及，抖音、快手、火山视频等短视频APP迅速窜红.针对这种现状，某文化传媒有限公司决定逐年加大短视频制作的资金投入，若该公司2019年投入短视频制作的资金为5000万元人民币，在此基础上，若以后每年的资金投入均比上一年增长8%，则该公司投入短视频制作的资金开始超过6900万元人民币的年份是(   ).(参考数据:，，)

A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年

3.某商品自上市后前两年价格每年递增10%，第三年价格下降了20%，则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况是(   )

A.不增不减 B.下降了2.8％ C.增加了2.8% D.下降了3.2％

4.下表表示的是某实验数据，现准备用某个函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(   )

A. B. C. D.

5.螃蟹素有“一盘蟹，顶桌菜”的民谚，它不但味美，且营养丰富，是一种高蛋白的补品，假设某池塘里的螃蟹繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为，假设该池塘第一年繁殖数量有200只，则第3年它们繁殖数量为(   )

A.400 B.600 C.800 D.1600

6.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（a，c为常数）.已知该工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时5分钟，则c和a的值分别是(   )

A.75，25 B.75，16 C.60，144 D.60，16

7.从装满20 L纯酒精的容器中倒出1 L酒精，然后用水加满并摇匀，再倒出1 L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时共倒出纯酒精x L，倒第次时共倒出纯酒精，则的解析式是(   )

A. B. C. D.

8. （多选）当某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.若要该杂志销售收入不少于22.4万元，则每册杂志可以定价为(   ).

A.2.5元 B.3元 C.3.2元 D.3.5元

9. （多选）在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示.给出下列说法，其中正确的是(   )

A.前5 min温度增加的速度越来越快 B.前5 min温度增加的速度越来越慢

C.5 min以后温度保持匀速增加 D.5 min以后温度保持不变

10. （多选）如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净化时间t（月）之间满足的函数关系：（，，）的图象.若有害物质的初始量为1，则以下说法中正确的是(   )

A.第4个月时，剩余量就会低于

B.每月减少的有害物质的量都相等

C.有害物质每月的衰减率为

D.当剩余量为，，时，所经过的时间分别是，，，则

11.土壤沙化危害严重，影响深远，因沙漠化每年给我国造成的直接经济损失达540亿元，而间接经济损失更是直接经济损失的2～3倍，甚至10倍以上，若某一块绿地，每经过一年，沙漠吞噬其绿地面积的，经过x年，该绿地被沙漠吞噬了原来面积的，则x为__________.

12.某种干细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种干细胞由1个培养成1024个需经过________小时.

13.某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.

14.某大型企业原来每天成本(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为，为了配合环境综合整治，该企业积极引进尾气净化装置，每吨产品尾气净化费用为k万元，尾气净化装置安装后当日产量时，总成本.

（1）求k的值；

（2）设每吨产品出厂价为48万元，试求尾气净化装置安装后日产量为多少时，日平均利润最大，其最大值为多少.(日平均利润就是日总利润÷日产量)

15.春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.

（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；

（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?

答案以及解析

1.答案：B

解析：假设至少需要经过的时间为x(单位：年)，由题意得，两边同时取以为底的对数得，.

因为，所以，即.故选B.

2.答案：B

解析：当年份为n时，短视频制作的资金为(万元)，，，由，两边同时取对数并整理得，

解得，从而得，

所以资金投入开始超过6900万元的年份是2024年.故选B.

3.答案：D

解析：本题考查函数模型与生活中的应用.设商品原价格为a元，则，下降了.

4.答案：A

解析：本题考查函数模型的选择.作出散点图，如下图，可知该函数单调递增，符合对数函数图象性质，经数值验证，符合A选项的函数关系.

5.答案：C

解析：本题考查指数函数模型的应用.由题意得，，，则第3年数量.

6.答案：C

解析：显然，则由题意可得解得故选C.

7.答案：A

解析：因为倒第k次时共倒出纯酒精x L，所以第k次后容器中含纯酒精，

第次倒出的纯酒精是，

所以.

8.答案：BC

解析：依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为元，则发行量为万册，则该杂志销售收入为万元，所以，化简得，解得，故选BC.

9.答案：BD

解析：温度y关于时间t的图像是先凸后平，即前5 min每当t增加一个单位增量，y相应的增量越来越小，而5 min以后y关于t的增量保持为0，即温度保持不变，则B，D正确.

10.答案：ACD

解析：根据图象过点，可知，，

解得或（舍去），

函数关系是.

令，得，故A正确；

当时，，减少了，当时，，减少了，每月减少的有害物质的量不相等，故B不正确；

因为，所以有害物质每月的衰减率为，故C正确；

分别令，，，解得，，，则，故D正确.

故选ACD.

11.答案：3

解析：本题考查指数函数在生活中的应用.先求绿地剩余面积y随时间x（年）变化的函数关系式，设绿地最初的面积为1，则经过1年，，经过2年，，…，那么经过x年，则.依题意得，解得.

12.答案：5

解析：本题考查指数函数的应用.干细胞分裂一次时有2个细胞，分裂2次时变为个细胞，分裂n次时变为个细胞，，所以分裂10次，每小时分裂2次，所以需要5小时.

13.答案：5

解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.

14、（1）答案：

解析：由题意，尾气净化装置安装后总成本，

当日产量时，总成本，代入计算得.

（2）答案：尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元.

解析：由(1)可得，

总利润，

日平均利润，

当且仅当，即时取等号.

尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元.

15.答案：（1）当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人

（2）时，需要提供的矿泉水瓶数最少

解析：（1）当时，设，，则，
.
，
故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.
（2），
①当时，，
仅当时等号成立.

②当时，，
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.