2023届高考数学二轮复习空间位置关系的证明与求及空间角作业含答案

空间位置关系的证明与求及空间角

1．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BB1的中点.

(1)证明：BC1//平面AD1E；

(2)求直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值.

2．在三棱锥A－OBC中，已知平面AOB⊥底面BOC，AO⊥BC，底面BOC为等腰直角三角形，且斜边．

(1)求证：AO⊥平面BOC；

(2)若E是OC的中点，二面角A－BE－O的余弦值为，求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．

3．如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，E，F分别是的中点.

(1)求证：平面：

(2)求点P到平面的距离.

4．如图，三棱柱的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，，，平面底面.

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

5．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，．

(1)证明：；

(2)当PB的长为何值时，直线AB与平面PCD所成角的正弦值为？

6．如图，平面平面，是等边三角形，为的中点，，，.

(1)证明：；

(2)求三棱锥的体积.

7．如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且.

(1)求证：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角的余弦值.

8．如图，四棱锥的底面为矩形，，.

(1)证明：平面平面.

(2)若，，，求点到平面的距离.

9．如图，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，．

(1)求证：平面；

(2)点在线段上一运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时锐二面角的余弦值．

10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面于点M连接.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成角的余弦值.

 参考答案：

1．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由四边形是平行四边形得出，再由线面平行的判定证明即可；

（2）利用等体积法得出点到平面AD1E的距离，进而得出直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.

(1)

，四边形是平行四边形，

又平面AD1E，平面AD1E，BC1//平面AD1E

(2)

设，点到平面AD1E的距离为.

，

，

，

设直线AA1与平面AD1E所成角为，则.

故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为.

2．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）证明CO⊥AO，AO⊥BC，再利用线面垂直的判定定理，即可得到答案；

（2）由(1)得OB，OC，OA两两垂直，建立如图所示得空间直角坐标系，求出此时＝(0，2，－1)，平面ABE的法向量＝(1，2，2)，再代入线面角的向量公式，即可得到答案；

(1)

证明：底面BOC为等腰直角三角形，且BC为斜边，

所以CO⊥OB，

因为平面AOB⊥底面BOC，平面AOB∩平面BOC＝OB，CO平面BOC，

所以CO⊥平面AOB，

因为AO⊂平面AOB，所以CO⊥AO，

又AO⊥BC，BC，CO平面BOC，BC∩CO＝C，

所以AO⊥平面BOC．

(2)

由(1)得OB，OC，OA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为底面BOC为等腰直角三角形，且斜边，

所以OC＝OB＝2，因为E是OC的中点，

所以B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)，

设A(0，0，t)(t＞0)，则，

设平面ABE的法向量＝(x，y，z)，

则取＝(t，2t，2)，

而平面BEO的法向量为＝(0，0，1)，

因为二面角A－BE－O的余弦值为，

所以

因为t＞0，所以t＝1，

此时＝(0，2，－1)，平面ABE的法向量＝(1，2，2)，

设直线AC与平面ABE所成的角为θ，

则sinθ＝|cos<，>|＝＝．

所以直线AC与平面ABE所成角的正弦值为．

3．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）通过作辅助线，证明平面∥平面，再根据面面平行的性质，证明结论；

（2）先求三棱锥的体积，再求出的面积，根据等体积法，即，即可求点P到平面的距离.

(1)

取的中点O，连接，

因为E，F分别是的中点，所以，

故∥平面∥平面， 平面 ,

因此，平面∥平面，又平面，

所以∥平面.

(2)

连接，因为，E是PA的中点，

所以的面积为，，

由（1）知，因为平面平面，

所以平面，

又,所以三棱锥的体积，

在中，，所以；

在中，；

在中，，所以，

在中，，故底边上的高为：，

所以的面积为：.

设点P到平面的距离h，则三棱锥的体积为，

又因为，所以，解得，

所以点P到平面的距离为.

4．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）找到图中三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，进而求出相应的向量坐标，接着求平面的法向量和平面的法向量，用向量的夹角公式求得答案.

(1)

证明：因为三棱柱的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，

所以.

又在三棱柱中，，，连接 ,

则 是等边三角形，所以，

因为平面，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

(2)

因为平面底面ABC，平面底面，，

所以底面ABC，故以D为坐标原点，DB，DC，所在直线分别为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，

则，，.

设平面的法向量为，平面的法向量为.

由，得，取，；

由，得，取，得.

所以，

由图知二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为.

5．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由线面垂直的判断定理证明平面PAB，再由线面垂直的性质定理即可证明；

（2）以A为原点，AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面PCD的法向量的坐标，根据直线AB与平面PCD所成角的正弦值为，利用向量法可求得，从而可求解PB的长.

(1)

证明：因为底面ABCD，又平面ABCD，

所以，又，，AB，平面PAB，

所以平面PAB，又平面PAB，

所以；

(2)

解：因为底面ABCD，，

所以以A为原点，AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

因为，，，

所以，则，，

所以，，，，

设，则，，

，设平面PCD的法向量为，

则，令，则，，

所以，

所以，解得，则，

所以当时，直线AB与平面PCD所成角正弦值为．

6．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用面面垂直得到平面，再由勾股定理得到， ，

线面垂直的判断定理可得平面，可得；

（2）连接，，由（1）知平面，则到平面的距离等于到平面的距离，由可得答案.

(1)

因为，为的中点，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，

因为，，所以，所以，同理，

因为，，平面，所以平面，所以.

(2)

连接，，由（1）知平面，则到平面的距离等于到平面的距离，所以，

作，垂足为，因为平面，平面，所以，

又，，平面，所以平面，

又，所以，

所以.

7．(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

(1)根据给定条件证明即可推理作答.

(2)在平面内过A作，以点A为原点，射线AM，AD，AP分别为x，y，z轴非负轴建立坐标系，借助空间向量计算作答.

(1)

在四棱锥中，平面，而平面，则，

因，，平面，

所以平面.

(2)

在平面内过A作交BC于点M，由(1)知，两两垂直，

以点A为原点，射线分别为轴非负轴建立空间直角坐标系，如图，

依题意，，则，，

设平面的一个法向量，则，令，得，

显然平面的一个法向量，于是得，二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值.

8．(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）连接，交于点，连接，证明平面，即可证明出平面平面.

（2）用等体积法，即，即可求出答案.

(1)

连接，交于点，连接，如图所示，

底面为矩形，为，的中点，

又，，

，，

又，

平面，

平面，

平面平面．

(2)

，，

，，

在中，，

，

在中，，

在中，，，

，

，，

设点到平面的距离为，

由等体积法可知，

又平面，为点到平面的距离，

，

，

即点到平面的距离为．

9．(1)证明见解析；

(2)当点与点重合时，平面与平面所成锐二面角最大，此时锐二面角的余弦值为.

【解析】

【分析】

（1）证明出平面，再由可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角余弦值的最小值.

(1)

证明：在梯形中，，，故梯形为等腰梯形，

因为，则，所以，，

又因为，则，，

因为平面，平面，，

，平面，

因为四边形为矩形，则，因此，平面.

(2)

解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

由余弦定理可得，

则、、、、，设点，其中，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

易知平面的一个法向量为，，

所以，当时，取最小值，此时平面与平面所成锐二面角最大，

此时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

10．(1)证明见详解

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接，交于点，则为中点，再由等腰三角形三线合一可知为中点，连接，利用中位线可知，根据直线与平面平行的判定定理即可证明；

（2）根据题意建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法即可求出两平面所成角的余弦值.

(1)

连接，交于点，则为中点，

因为，于，则为中点，

连接，则，

又因为平面，平面,

所以平面；

(2)

如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的一个法向量为，

由可得，

令，得，即，

易知平面的一个法向量为，

设平面与平面所成角为，

，

则平面与平面所成角的余弦值为.