2023届高考数学二轮复习三角函数与解三角形作业含答案

三角函数与解三角形

1．在中，角、、所对的边分别为、、，向量，向量，且．

(1)求角的大小；

(2)若，求面积的最大值．

2．已知点为坐标原点，函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)若A为的内角，，求周长的最大值.

3．已知函数的部分图象如下图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)讨论函数在上的单调性．

4．（1）若，且为第二象限角，求，的值；

（2），，求的值．

5．函数的一段图象如下图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象.求直线与函数的图象在内所有交点的横坐标之和.

6．已知函数.

(1)求函数的最大值及相应的取值；

(2)方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；

(3)是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

7．已知，且.

(1)求值；

(2)若，且，求的值.

8．已知函数，.

(1)证明函数为偶函数，并求出其最大值；

(2)求函数在上单调递增区间.

9．已知，，角终边上一点.

(1)求，的值；

(2)求的值.

10．已知函数图象的一条对称轴方程为，且其图象上相邻两个零点的距离为.

(1)求的解析式；

(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

 参考答案：

1．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由向量共线的坐标表示得到，利用正弦定理和余弦定理可得答案；

（2）由利用基本不等式可得的范围，再由面积公式可得答案.

(1)

∵，∴，

由正弦定理得

即，

由余弦定理得

∴，∴．

(2)

∵，，

∴，当且仅当等号成立，

∴，

∴面积的最大值为．

2．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先利用向量数量积和辅助角公式化简得到，进而求出最小正周期.；（2）利用余弦定理求出，使用基本不等式求出，进而得到周长的最大值.

(1)

故的最小正周期，

(2)

，解得：，而，故，故，所以；

又，由余弦定理得：，所以，又，故，解得：，当且仅当时等号成立，故，即周长的最大值为.

3．(1)

(2)在，上单调递减，在，和，上单调递增

【解析】

【分析】

（1）由图知，，最小正周期，由，求得的值，再将点，代入函数的解析式中，求出的值，即可；

（2）由，，知，，再结合正弦函数的单调性，即可得解．

(1)

解：由图知，，最小正周期，

因为，所以，

将点，代入函数的解析式中，得，

所以，，即，，

因为，所以，

故函数的解析式为；

(2)

解：因为，，所以，，

令，则，，

因为函数在，上单调递减，在，和，上单调递增，

令，得，

令，得，令，得，

所以在，上单调递减，在，和，上单调递增．

4．（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由同角三角函数间的平方关系先求出，然后由可求出.

(2)由角结合三角函数在各个象限的符号得出，的值，再由，则，得出的值，从而得出答案.

【详解】

（1），且为第二象限角，则

（2）由，，则

，

由，则，所以，则

所以

5．(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)由图象可计算得 ；

(2)由题意可求，进而可以求出在给定区间内与已知直线的交点的横坐标，问题得解.

(1)

由题图知，，于是，

将的图象向左平移个单位长度，得的图象.

于是

所以，

(2)

由题意得

故

由，得

因为，所以

所以或或或，

所以，在给定区间内，所有交点的横坐标之和为.

6．(1)2，

(2)或

(3)存在，

【解析】

【分析】

（1）由三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数的性质可求得答案；

（2）将问题转化为函数与函数在上只有一个交点.由函数的单调性和最值可求得实数的取值范围；

（3）由（1）可知，由已知得，成立，令，其对称轴，分，，讨论函数的最小值，建立不等式，求解即可.

(1)

解：由得.

令，解得，

∴函数的最大值为2，此时；

(2)

解：方程在上有且有一个解，即函数与函数在上只有一个交点.

∵，∴.

∵函数在上单调递增，在上单调递减，

且，，.

∴或；

(3)

解：由（1）可知，∴.

实数满足对任意，都存在，使得成立，即成立，

令，其对称轴，∵，

∴①当时，即，，∴；

②当，即时，，∴；

③当，即时，，∴.

综上可得，存在满足题意的实数，的取值范围是.

7．(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)先由条件得出角所在象限，然后由平方关系求出即可.

(2)由（1）结合同角关系求出，，再由正切的和角公式可得答案.

(1)

由，，则为第二象限的角

所以

(2)

由（1）可得

又，且，则

所以

8．(1)证明见解析，最大值为；

(2)、.

【解析】

【分析】

（1）利用函数奇偶性的定义可证得结论成立，再利用二倍角公式结合二次函数的基本性质可求得函数的最大值；

（2）求导得出，然后求出不等式在上的解集，即可得出结论.

(1)

解：函数的定义域，

又，所以函数为偶函数，

当时，，，

所以当时，函数的最大值为.

(2)

解：当时，，

对其求导得，

当时，，只需，解得，

当时，，只需，解得，

综上函数在上的单调递增区间有、.

9．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）由同角三角函数关系得，进而根据二倍角公式和正弦的和角公式求解即可；

（2）由三角函数定义得，再根据正切的差角公式求解即可.

(1)

解：（1）∵已知，，

∴

∴，，

(2)

解：若角终边上一点，则，

∴

10．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意可得周期为，则可求出的值，再由一条对称轴方程为，可得，可求出的值，从而可求得解析式，

（2）由题意得对恒成立，所以利用三角函数的性质求出即可，从而可求出实数m的取值范围

(1)

因为图象上相邻两个零点的距离为，

所以周期为，所以，得，

所以，

因为图象的一条对称轴方程为，

所以，即，

所以，

因为，所以，

所以

(2)

由（1）得对恒成立，

因为，所以，

所以，则，

所以，解得，

所以实数m的取值范围为