2023届高考数学二轮复习专题六立体几何第一讲空间几何体的三视图，表面积与体积学案

专题六 立体几何

第一讲  空间几何体的三视图，表面积与体积

（一）考点解读

（二）核心知识整合

考点1：柱体、锥体、台体、球的表面积与体积

1.棱柱

体积：V棱柱＝Sh．(S为底面积，h为高)

表面积：S棱柱＝2S底面＋S侧面

2．棱锥

体积：V棱锥＝Sh. (S为底面积，h为高)

表面积：S棱锥＝S底面＋S侧面

3．棱台

体积：V棱台＝h(S＋＋S′)(S、S′为底面积，h为高)

表面积：S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面

4．圆柱

体积：V圆柱＝πr2h (r为底面半径，h为高)

表面积：S圆柱＝2πrl＋2πr2．(r为底面半径，l为母线长)

5.圆锥

体积：V圆锥＝πr2h(r为底面半径，h为高)

表面积：S圆锥＝πrl＋πr2．(r为底面半径，l为母线长)

6.圆台

体积：V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)(r、r′为底面半径，h为高)

表面积：S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2

7.球

体积：V球＝πR3 (R为球的半径)

表面积：S球＝4πR2　

[典型例题]

1.如图8-1-14所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积为(     )

A.  B.  C.  D.

[答案]：A

[解析]　 所得几何体为正方体中挖去一个圆柱,故表面积应为正方体表面积减去圆柱两底面积再加上圆柱的侧面积.所得几何体的表面积为.

故选A.

2.如图，在直三棱柱中，分别是的中点，则下列说法不正确的是(   )

A.直线平面 B.

C.  D.三棱锥的体积为

[答案]：D

[解析] 如图，取的中点E，连结，则，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面，故A正确；由上述可知异面直线MN与所成角即为直线与所成角，又为等腰三角形，所以，所以异面直线MN与所成角为，故B项正确；连接，则，所以，又，所以，且，所以异面直线MN与AB所成角为，所以异面直线MN与AB所成角不等于，故C不正确；三棱锥的体积，故D正确.
 

『规律总结』

求几何体的表面积与体积问题，熟记公式是关键，应多角度全方位的考虑．

1．给出几何体的形状、几何量求体积或表面积，直接套用公式．

2．用三视图给出几何体，先依据三视图规则想象几何体的形状特征，必要时画出直观图，找出其几何量代入相应公式计算．

3．用直观图给出几何体，先依据线、面位置关系的判定与性质定理讨论分析几何体的形状特征，再求体积或表面积．

4．求几何体的体积常用等积转化的方法，转换原则是其高易求，底面在几何体的某一面上，求不规则几何体的体积，主要用割补法．

[跟踪训练]

1.如图，四边形是正方形，四边形是矩形，平面平面，，，则多面体的体积为（    ）

A． B． C． D．

[答案]：D

[解析]  连接BD，AC，

四边形BDEF为矩形，，
平面平面ABCD，平面平面，平面，
平面ABCD，
又平面ABCD，，
设，则，
又，为等边三角形，，
即，解得，
四边形ABCD为正方形，，
平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
平面BDEF，
多面体ABCDEF体积，
故选D．

2.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为(   )

A. B. C. D.

[答案]：D

[解析] 本题考查棱台的体积.将正四棱台补成四棱锥，作底面ABCD于点O，交平面于点，则棱台的体积.由题意，，易知，，，而，所以，则 ，，所以棱台的体积.故选D．

考点2：多面体与球

多面体与球切、接问题的求解方法

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．

(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．

 [典型例题]

1.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为(   )

A. B. C. D.

[答案]：D

[解析]　 如图，是等腰直角三角形，为截面圆的直径，外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D，当P，O，D共线且P，O位于截面ABC同一侧时三棱锥的体积最大，高最大，此时三棱锥的高为PD，，解得.连接OC，设外接球的半径为R，则，，在中，，由勾股定理得，解得.三棱锥的外接球的体积，故选D.

2.已知在三棱锥中，的内切圆圆O的半径为2，平面ABC，且三棱锥的三个侧面与底面所成角都为60°，则该三棱锥的内切球的体积为(   )

A. B. C. D.

[答案]：A

[解析] 设三棱锥的内切球的半径为R，过O作于点D，于点E，于点F，则.连接PD，易证，因为三棱锥的三个侧面与底面所成角都为60°，所以，则，.由题意可知三棱锥的内切球的球心在线段PO上，在中，，即，解得.所以该三棱锥的内切球的体积为，故选A.

『规律总结』

(1)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．

(2)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．

(3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．

[跟踪训练]

1.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(   )

A.R B.2R C. D.

[答案]：C

[解析]  设圆锥的高为h，底面半径为r，体积为V，则，所以，所以，，令，得，当时，；当时，，所以当时，圆锥体积最大. 故选C.

2.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且，则此棱锥的体积为(   )

A. B. C. D.

[答案]：A

[解析] 在直角三角形中,,所以;同理,.

过点作的垂线交于点,连接,

因为,故,故平面,且为等腰三角形.

因为,故,

则的面积为,

则三棱锥的体积为.故选A.