2022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）开学数学试卷

这是一份2022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）开学数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）开学数学试卷（学生版）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填到对应的位上。
1．（4分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
（多选）2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n
C．（m+2n）2＝m2+4n2 D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9
4．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是（　　）

A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
5．（4分）估计×（2+）的值应在（　　）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
6．（4分）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
7．（4分）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（　　）

A．32 B．34 C．37 D．41
8．（4分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．
10．（4分）东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的距离y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（　　）

A．两人前行过程中的速度为180米/分
B．m的值是15，n的值是2700
C．爸爸返回时的速度为90米/分
D．运动19分钟时，两人相距810米
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程﹣1的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣15 B．﹣13 C．﹣7 D．﹣5
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，顶点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点D是斜边AC的中点．若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过D，C两点，OA＝4，OB＝2，则k的值为（　　）

A．﹣8 B． C．﹣6 D．
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上。
13．（4分）因式分解：a3﹣6a2＝　 　．
14．（4分）有三张背面完全一样，正面分别写有汉字“初”，“三”，“了”的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的汉字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 　 　．
15．（4分）如图，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把纸片沿直线DE折叠，点B落在边AC上的点F处，若BE＝EC＝5，CF＝6，AF＝3，则△ABC的面积是 　 　．

16．（4分）某车间有A，B，C型的生产线共12条，A，B，C型生产线每条生产线每小时的产量分别为4m，2m，m件，m为正整数．该车间准备增加3种类型的生产线共7条，其中B型生产线增加1条，受到限电限产的影响，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每小时的产量将减少4件．统计发现，增加生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少10件，且A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67．请问增加生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为 　 　件．
三、解答题（本大题3个小题，其中17题12分。18题6分，19题8分，共26分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，面出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上。
17．（12分）（1）计算：（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；
（2）计算：（）﹣1﹣+|﹣2|；
（3）解方程：．
18．（6分）先化简，再求值：÷（﹣x﹣1），然后从﹣2、2、﹣3、3中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）用尺规完成基本作图：作AC的垂直平分线，交AC于点O，交AB、CD延长线分别于点E、F，连接CE、AF．（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）求证：四边形AECF是菱形，请完成下列证明过程．
证明：∵EF垂直平分AC，
∴AO＝　 　，AC⊥EF，∠AOE＝∠COF．
∵四边形ABCD为矩形，
∴　 　，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵在△AOE和△COF中

∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴　 　．
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵　 　．
∴四边形AECF是菱形．

四、解答题（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，西出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位上。
20．（10分）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着落，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又达到了一个新的高度．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x＜100）
其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90
b
38.7
九年级
90
c
100
38.1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么？
（3）若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数．

21．（10分）已知一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于点A（﹣2，3）和点B（6，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式，并画出反比例函数的图象；
（2）当点C（﹣3，0）时，连接AC，BC，求△ABC的面积；
（3）根据图象，当y1≤y2时，直接写出自变量x的取值范围．

22．（10分）某公司的A产品7月销往国内的单价比销往国外的单价低50元；该产品销往国内1件与销往国外2件的售价和为400元．
（1）求7月这种产品销往国内、国外的单价分别是多少元？
（2）7月，该公司这种产品销往国内的数量为1000件，销往国外的数量为2000件．8月受疫情，高温等各种因素的影响，该产品销往国内的单价比原来下降a%，销往国外的单价比原来上涨a%，结果销往国内的数量比上月增加2a%，销往国外的数量比上月减少a%，该产品8月的销售总金额与7月的销售总金额相同，求a的值．
23．（10分）一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F（k）．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19＝4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记F（722）＝4．
（1）计算：F（304）+F（2052）；
（2）若m、n都是“魅力数”，其中m＝3030+101a，n＝400+10b+c（0≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a、b、c是整数），规定：G（m，n）＝，求G（m，n）的值．
24．（10分）如图，在直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+1与x轴交于点C，与y轴交于点A．分别以OC、OA为边作矩形ABCO，直线l2：y＝x交线段AB于点E．
（1）直接写出点B、点E的坐标；
（2）如图2，点F为线段BC的中点，点P为直线l2上一点，点Q为x轴上一点，求四边形BFQP周长的最小值以及周长最小时点P的坐标；
（3）如图3，若点D为点A关于x轴的对称点，连接CD，将直线l1：y＝﹣x+1沿着x轴平移，平移后的直线记为13，直线l3与x轴交于点M，与射线CD交于点N，是否存在这样的点M，使得△OMN为等腰三角形，若存在，请写出满足条件的所有点M的坐标，并写出其中一个的求解过程；若不存在，请说明理由．

25．（10分）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．
（1）如图1，连接AE，当B、A、E三点共线时，若AB＝4，求AE的长；
（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AF交于G点．若GF＝DF，请直接写出的值．



2022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）开学数学试卷（教师版）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填到对应的位上。
1．（4分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：C．
（多选）2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：BC．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n
C．（m+2n）2＝m2+4n2 D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9
【解答】解：A．m+m＝2m，故本选项不合题意；
B．2（m﹣n）＝2m﹣2n，故本选项不合题意；
C．（m+2n）2＝m2+4mn+4n2，故本选项不合题意；
D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是（　　）

A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD＝2：3，
∴OA：OD＝2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故选：C．
5．（4分）估计×（2+）的值应在（　　）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【解答】解：原式＝+＝6+，
∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
∴9＜6+＜10．
故选：B．
6．（4分）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
【解答】解：过含30°角的直角三角板的直角顶点B作BF∥l1，交AC于点F，

∵∠C＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝60°．
∵∠1＝∠A+∠ADE，
∴∠ADE＝60°．
∵BF∥l1，
∴∠ABF＝∠ADE＝60°，
∴∠FBG＝90°﹣∠ABF＝30°．
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠BGH+∠FBG＝180°，
∴∠BGH＝180°﹣∠FBG＝150°，
∴∠2＝∠BGH＝150°．
故选：D．
7．（4分）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（　　）

A．32 B．34 C．37 D．41
【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
…，
第n个图案中有（4n+1）个正方形，
∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，
故选：C．
8．（4分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵共买了一千个苦果和甜果，
∴x+y＝1000；
∵共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
∴x+y＝999．
∴可列方程组为．
故选：A．
9．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，
∵F为AE的中点，H为BE的中点，
∴EH＝BE，FH是△ABE的中位线，
∴FH＝AB＝2，FH∥AB，
∴FH∥AB∥CD，
∵BE⊥AB，
∴FH⊥BE，CD⊥BE，
∴∠FHE＝∠BEC＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝BC＝2，
∴BE＝＝＝2，
∴EH＝BE＝，
∴FH＝CE，
在△FHG和△CEG中，
，
∴△FHG≌△CEG（AAS），
∴EG＝GH＝EH＝，
在Rt△FHG中，由勾股定理得：GF＝＝＝，
故选：D．
10．（4分）东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的距离y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（　　）

A．两人前行过程中的速度为180米/分
B．m的值是15，n的值是2700
C．爸爸返回时的速度为90米/分
D．运动19分钟时，两人相距810米
【解答】解：∵3600÷20＝180（米/分），
∴A选项正确，不符合题意；
∵m＝20﹣5＝15，
∴n＝180×15＝2700，
∴B选项正确，不符合题意；
∵2700÷（45﹣15）＝90（米/分），
∴C选项正确，不符合题意；
∵180×（19﹣15）+90×（19﹣15）＝720+360＝1080（米），
∴D选项错误，符合题意；
故选：D．
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程﹣1的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣15 B．﹣13 C．﹣7 D．﹣5
【解答】解：，
由①得，x＜﹣2，
由②得x≤，
∵不等式组的解集为x＜﹣2，
∴≥﹣2，
∴a≥﹣8，
﹣1，
2y＝a﹣（y+1），
2y＝a﹣y﹣1，
3y＝a﹣1，
y＝，
∵方程的解为负整数，
∴a＝﹣8，﹣5，﹣2，
∵y≠﹣1，
∴≠﹣1，
∴a≠﹣2，
∴a的取值为﹣8，﹣5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣13，
故选：B．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，顶点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点D是斜边AC的中点．若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过D，C两点，OA＝4，OB＝2，则k的值为（　　）

A．﹣8 B． C．﹣6 D．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，
由于反比例函数y＝（x＜0）的图像经过C点，可设点C（a，），则CE＝﹣a，
∵点A（﹣4，0），点C（a，），点D是AC的中点，
∴点D（，），
又∵反比例函数y＝（x＜0）的图像经过D点，
∴×＝k，
解得a＝﹣，
经检验a＝﹣是原方程的根，
∴CE＝，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴＝，
又∵A（﹣4，0），B（0，2），即OA＝4，OB＝2，CE＝，
∴BE＝2CE＝，
∴OE＝OB+BE＝2+＝，
∴点C（﹣，），
∴k＝﹣×＝﹣，
故选：B．

二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上。
13．（4分）因式分解：a3﹣6a2＝　a2（a﹣6）　．
【解答】解：a3﹣6a2＝a2（a﹣6）．
故答案为：a2（a﹣6）．
14．（4分）有三张背面完全一样，正面分别写有汉字“初”，“三”，“了”的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的汉字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 　　．
【解答】解：根据题意画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有3种，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为．
故答案为：．
15．（4分）如图，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把纸片沿直线DE折叠，点B落在边AC上的点F处，若BE＝EC＝5，CF＝6，AF＝3，则△ABC的面积是 　36　．

【解答】解：由折叠性质可知，
BE＝EF，
∵BE＝EC，
∴BE＝EC＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB，∠EFC＝∠C，
∴∠EFB+∠EFC＝∠FBE+∠C＝90°，
即∠BFC＝90°，BF⊥AC，
∵BE＝EC＝5，CF＝6，
∴BC＝10，
∴BF＝＝8，
∵AF＝3，
∴AC＝3+6＝9，
∴△ABC的面积＝＝＝36．
故答案为：36．
16．（4分）某车间有A，B，C型的生产线共12条，A，B，C型生产线每条生产线每小时的产量分别为4m，2m，m件，m为正整数．该车间准备增加3种类型的生产线共7条，其中B型生产线增加1条，受到限电限产的影响，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每小时的产量将减少4件．统计发现，增加生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少10件，且A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67．请问增加生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为 　134　件．
【解答】解：设增加生产线前A，B，C型生产线各有x、y、z条，增加生产线后A型增加a条，则C型增加（7﹣1﹣a）即（6﹣a）条，
由题意可得：
4mx+2my+mz＝（x+a）（4m﹣4）+（y+1）（2m﹣4）+（z+6﹣a）（m﹣4）+10，
整理得：
3ma+8m＝18+4（x+y+z），
由题意得：x+y+z＝12，
代入上式整理可得：
m＝，
又因为m是正整数，
所以3a+8的值可能为1、2、3、6、11、22、33，
结合0≤a≤6且a为正数，
可得3a+8＝11，即a＝1，
所以m＝6，
所以增加生产线后A型增加1条生产线，B型增加1条生产线，C型增加5条生产线，
且增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为（4m﹣4）（件）、（2m﹣4）（件）、（m﹣4）（件），
即增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为20（件）、8（件）、2（件），
再由A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67，
可得＝，
化简分式方程得：1340x+1340＝600x+600+240y+240+60z+300，
移项、合并同类项得：74x+20＝24y+6z，
而由x+y+z＝12得：x＝12﹣y﹣z，
代入上式得：74（12﹣y﹣z）+20＝24y+6z，
整理得：z＝，
因为x、y、z均为非负整数，
所以454﹣49y一定能被整除，
所以454﹣49y的个位数字一定是0，
即49y的个位数字一定是4，
所以y＝6（条），
那么z＝4（条），
随即可得x＝2（条），
再次检验当x、y、z分别为2、6、4时，以上分式均成立．
最后计算增加生产线后该车间生产线每小时总产量为：
20（2+1）+8（6+1）+2（4+5）＝134（件）．
故答案为：134．
三、解答题（本大题3个小题，其中17题12分。18题6分，19题8分，共26分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，面出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上。
17．（12分）（1）计算：（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；
（2）计算：（）﹣1﹣+|﹣2|；
（3）解方程：．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+y2﹣y2+2xy
＝x2；
（2）原式＝2﹣3+2﹣
＝1﹣；
（3）去分母得：2（1﹣x）＝x﹣（2x﹣4），
去括号得：2﹣2x＝x﹣2x+4，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解．
18．（6分）先化简，再求值：÷（﹣x﹣1），然后从﹣2、2、﹣3、3中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝﹣÷
＝﹣•
＝﹣，
根据分式有意义的条件可知：x不能取3，﹣3，
当x＝2时，
原式＝﹣
＝﹣．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）用尺规完成基本作图：作AC的垂直平分线，交AC于点O，交AB、CD延长线分别于点E、F，连接CE、AF．（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）求证：四边形AECF是菱形，请完成下列证明过程．
证明：∵EF垂直平分AC，
∴AO＝　OC　，AC⊥EF，∠AOE＝∠COF．
∵四边形ABCD为矩形，
∴　AB∥CD　，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵在△AOE和△COF中

∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴　OE＝OF　．
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵　AC⊥EF　．
∴四边形AECF是菱形．

【解答】（1）解：如图所示，直线EF即为所求；
（2）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEO＝∠CFO．
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF．
∵AO＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF．
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：OC，AB∥CD，OE＝OF，AC⊥EF．

四、解答题（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，西出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位上。
20．（10分）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着落，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又达到了一个新的高度．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x＜100）
其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90
b
38.7
九年级
90
c
100
38.1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝　40　，b＝　96　，c＝　92.5　；
（2）你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么？
（3）若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数．

【解答】解：（1）由题意可知，a%＝1﹣﹣10%﹣20%＝40%，故a＝40；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是96分，故众数b＝96；
九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为92、93，故中位数为c＝＝92.5，
故答案为：40；96；92.5；
（2）九年级成绩相对更好，理由如下：
①九年级测试成绩的众数大于八年级；②九年级测试成绩的方差小于八年级；
故答案为：九；①九年级测试成绩的众数大于八年级；②九年级测试成绩的方差小于八年级；
（3）1400×70%＝980（人）．
答：估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数为980人．
21．（10分）已知一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于点A（﹣2，3）和点B（6，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式，并画出反比例函数的图象；
（2）当点C（﹣3，0）时，连接AC，BC，求△ABC的面积；
（3）根据图象，当y1≤y2时，直接写出自变量x的取值范围．

【解答】解：∵反比例函数y2＝（k≠0）过点A（﹣2，3），
∴k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y2＝﹣，
∵反比例函数y2＝﹣，过点B（6，m），
∴m＝﹣1，
∴B（6，﹣1），
∵一次函数过点A（﹣2，3），B（6，﹣1），
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+2；
反比例函数的图象如图所示：

（2）当点C坐标为（﹣3，0）时，如图，

过点C作x轴的垂线，与AB交于点D，
∴D（﹣3，）．
∴DC＝
∴S△ABC＝S△BCD﹣S△ACD＝（xB﹣xA）•DC＝×[6﹣（﹣2）]×＝14；
（3）根据图象，当y1≤y2时，自变量x的取值范围为﹣2≤x＜0或x≥6．
22．（10分）某公司的A产品7月销往国内的单价比销往国外的单价低50元；该产品销往国内1件与销往国外2件的售价和为400元．
（1）求7月这种产品销往国内、国外的单价分别是多少元？
（2）7月，该公司这种产品销往国内的数量为1000件，销往国外的数量为2000件．8月受疫情，高温等各种因素的影响，该产品销往国内的单价比原来下降a%，销往国外的单价比原来上涨a%，结果销往国内的数量比上月增加2a%，销往国外的数量比上月减少a%，该产品8月的销售总金额与7月的销售总金额相同，求a的值．
【解答】解：（1）设7月这种产品销往国内的销售单价为x元，则销往国外的销售单价为（x+50）元，
依题意得：x+2（x+50）＝400，
解得：x＝100，
∴x+50＝100+50＝150．
答：7月这种产品销往国内的销售单价为100元，销往国外的销售单价为150元．
（2）依题意得：100（1﹣a%）×1000（1+2a%）+150（1+a%）×2000（1﹣a%）＝100×1000+150×2000，
整理得：50a2﹣1000a＝0，
解得：a1＝20，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为20．
23．（10分）一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F（k）．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19＝4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记F（722）＝4．
（1）计算：F（304）+F（2052）；
（2）若m、n都是“魅力数”，其中m＝3030+101a，n＝400+10b+c（0≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a、b、c是整数），规定：G（m，n）＝，求G（m，n）的值．
【解答】解：（1）∵30+2×4＝38，38÷19＝2，∴（F304）＝2，
∵205+2×2＝209，209÷19＝11，∴F（2052）＝11，
∴F（304）+F（2052）＝13；
（2）∵m＝3030+101a＝3000+100a+30+a，
∴，
∵m是魅力数，
∴是整数，
∵0≤a≤9，且a是偶数，
∴a＝0，2，4，6，8．
当a＝0时，＝，不符合题意，
当a＝2时，＝，不符合题意，
当a＝4时，当 ＝，不符合题意，
当a＝6时，当＝，不符合题意，
当a＝8时，当 ＝，符合题意，
∴a＝8，此时m＝3838，F（m）＝F（3838）＝21，
又∵F（m）+F（n）＝24，∴F（n）＝3，
∵n＝400+10b+c，
∴，
∴b+2c＝17，
∵n是魅力数，
∴c是偶数，
又∵0≤c≤9，
∴c＝0，2，4，6，8，
当c＝0时，b＝17不符合题意，
当c＝2时，b＝13不符合题意，
当c＝4时，b＝9符合题意，此时G（m，n）＝＝，
当c＝6时，b＝5符合题意，此时G（m，n）＝＝，
当c＝8时，b＝1符合题意，此时G（m，n）＝＝．
故G（m，n）的值为或或16．
24．（10分）如图，在直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+1与x轴交于点C，与y轴交于点A．分别以OC、OA为边作矩形ABCO，直线l2：y＝x交线段AB于点E．
（1）直接写出点B、点E的坐标；
（2）如图2，点F为线段BC的中点，点P为直线l2上一点，点Q为x轴上一点，求四边形BFQP周长的最小值以及周长最小时点P的坐标；
（3）如图3，若点D为点A关于x轴的对称点，连接CD，将直线l1：y＝﹣x+1沿着x轴平移，平移后的直线记为13，直线l3与x轴交于点M，与射线CD交于点N，是否存在这样的点M，使得△OMN为等腰三角形，若存在，请写出满足条件的所有点M的坐标，并写出其中一个的求解过程；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝3，
∴A（0，1），C（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∵四边形ABCO是矩形，
∴B（3，1），
∵直线l2：y＝x交线段AB于点E，
∴E（1，1）；
（2）∵点F为线段BC的中点，
∴F（3，），
作B关于直线y＝x的对称点B′，作F关于x轴的对称点F′，则F′（3，﹣），连接B′F′交l2与P，交x轴于Q，作B′G∥y轴，F′G∥x轴，两线交于G，如图1：

∵B（3，1），E（1，1），直线y＝x与AB夹角为45°，
∴△B′EB是等腰直角三角形，
∴B′（1，3），
此时四边形BFQP的周长最小，
∵B′（1，3），F′（3，﹣），
∴直线B′F′的解析式为：y＝﹣x+，
解得，
∴P（，），
∵B′G＝，GF′＝2，
∴B′F′＝＝，
∴四边形BFQP周长的最小值是；
（3）存在，
①如图2，若OM＝MN，过N作NI⊥x轴于I，
∵AO＝OD＝1，OC⊥AD，
∴AC＝CD，
∴∠ACO＝∠DCO，
∵l3∥l1，
∴∠CMN＝∠ACO，
∴∠DCO＝∠CMN，
∴MN＝CN，
∴MN＝CN＝OM，
∵△CIN∽△COD，
∴NI：IC：CN＝OD：OC：CD＝1：3：，
设NI＝m，则CI＝3m，CN＝m，
∴OM＝MN＝m，MI＝IC＝3m，
∴m+3m+3m＝3，
∴m＝＝IN，
∴OM＝m＝，
∴M（，0）；
②如图3，当OM＝ON，过N作NI⊥x轴于I，

同①可知∠ACM＝∠DCM＝∠CMN，
∴△CMN是等腰三角形，
∴MN＝NC，
设IN＝m，
同①得，IC＝IM＝3m，CN＝m，
∴OM＝6m﹣3，
∴ON＝6m﹣3，OI＝OC﹣IC＝3﹣3m，
在Rt△OIN中，（6m﹣3）2＝m2+（3﹣3m）2，
∴m＝，m＝0（舍去），
∴OM＝6m﹣3＝，
∴M（﹣，0）；
③如图4，当OM＝MN，过N作NI⊥x轴于I，

同理△CMN是等腰三角形，
∴MN＝NC，
设IN＝m，
同①得，IN＝m，IC＝IM＝3m，CN＝m，
∴OM＝MN＝CN＝m＝6m﹣3，
∴m＝，
∴OM＝m＝
∴M（﹣，0），
综上所述：点M的坐标是（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．

25．（10分）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．
（1）如图1，连接AE，当B、A、E三点共线时，若AB＝4，求AE的长；
（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AF交于G点．若GF＝DF，请直接写出的值．


【解答】解：（1）如图1，

作EF⊥AC交CA的延长线于F，
∴∠AFE＝90°，
∵BD＝DE，∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠DBE＝＝＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB＝2，
∵∠BAC＝∠AED+∠ADE，
∴∠ADE＝∠BAC﹣∠AED＝60°﹣30°＝30°，
∴AE＝AD＝2；

（2）如图2，DF＝，理由如下：

连接AF并延长至H，使FH＝AF，
∵F是CE的中点，
∴EF＝CF，
∵∠EFH＝∠CFA，
∴△EFH≌△CFA（SAS），
∴EH＝AC，∠CAF＝∠EHF，
∴AC∥EH，
∴∠DEH＝∠ADE，
∵∠BDE＝120°，
∴∠ADE+∠ADB＝120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠ABD+∠ADB＝120°，EH＝AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DEH，
∵DE＝BD，
∴△DEH≌△DBA（SAS），
∴AD＝DH，∠EDH＝∠ADB，
∴∠DAH＝∠AHD，∠EDH+∠ADE＝∠ADB+∠ADE＝∠BDE，
∴∠ADH＝120°，
∴∠DAH＝30°，
∵AD＝DH，AF＝FH，
∴DF⊥AH，
∴∠ADF＝90°，
∴DF＝；

（3）如图3，

连接DG，作DM⊥AB于M，
由（2）知：∠AFD＝90°，∠FAD＝30°，∠DEB＝30°，
∴∠FAD＝∠DEB，∠BAF＝∠BAC+∠DAF＝90°，
∴点A、B、D、G共圆，
∴∠BDG＝180°﹣∠BAF＝90°，
∵GF＝DF，
∴∠FGD＝∠GDF＝45°，
∴∠ABD＝∠FGD＝45°，
∴∠FDG＝∠ABD＝45°，
∴BM＝DM，
在Rt△ADH中，∠BAC＝60°，
设AM＝x，则BM＝DM＝AM•tan60°＝x，AD＝2x，
∴AC＝AB＝AM+BM＝（1+）x，BD＝＝x，
∵BE＝2•（BD•sin60°）＝2×x＝3x，
∴CD＝AC﹣AD＝（1+）x﹣2x＝（）x，
∴＝＝．
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