初中数学6 直线和圆的位置关系教案设计

鲁教版（五四制）数学九年级下册

5.6 直线和圆的位置关系 教案

【教学目标】

一、教学知识点。

理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。

二、能力训练要求。

1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力。

2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化。

三、情感与价值观要求。

1．通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

2．在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

【教学重点】

1．经历探索直线与圆位置关系的过程。

2．理解直线与圆的三种位置关系。

【教学难点】

经历探索：直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系。

【教学方法】

教师指导学生探索法。

【教学过程】

一、创设问题情境，引入新课。

[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？

[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径。因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外。也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内。

[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系。

二、新课讲解。

（一）复习点到直线的距离的定义。

[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离。

如图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离。

（二）探索直线与圆的三种位置关系。

[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的。如大家请观察课本中的三副照片，地平线和太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？

[生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系。

[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？

[生]有三种位置关系。

[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：

它们分别是相交、相切、相离。

当直线与圆相切时（即直线和圆有唯一公共点），这条直线叫做圆的切线（tangent line）。

当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。

当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？

[生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离。

[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？

[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d<r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d>r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系。

[师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法。一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定。

1．从公共点的个数来判断：

直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；

直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；

直线与圆没有公共点时，直线与圆相离。

2．从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：

d<r时，直线与圆相交；

d＝r时，直线与圆相切；

d>r时，直线与圆相离。

3．议一议：

你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？

[师]请大家发表自己的想法。

[生]把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交。

自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切。

杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离。

[师]嗯，回答得非常好！

4．例题讲解。

例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=8cm，AC＝4cm。

（1）以C为圆心，当半径的长为多少时，AB与有⊙C相切？

（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与直线AB有怎样的位置关系？

解：（1）如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，

∵AC=4cm，AB=8cm，

∴

∴∠A=60°。

∴

因此，当半径的长为cm时，AB与⊙C相切。

（2）由（1）可知，圆心C到AB的距离d=cm，所以，

当r=2cm时，d>r，⊙C和AB相离；

当r=3cm时，d<r，⊙C和AB相交。

[师]大家想一想，对于例1（1），还有其他的解法吗？

三、课时小结。

本节课学习了如下内容：

直线与圆的三种位置关系。

1．从公共点数来判断。

2．从d与r间的数量关系来判断。

四、活动与探究。

如下图，A城气象台测得台风中心在，城正西方向300千米的B处，并以每小时17千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域。

1．A城是否会受到这次台风的影响？为什么？

2．若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？

分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A城能否受到影响，即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小。若d>200，则无影响，若d≤200，则有影响。

解：1．过A作AC⊥BF于C

在Rt△ABC中，∵∠CBA＝30°，BA＝300，

∴AC：ABsin30°＝300×＝150（千米）。

∵AC<200，∴A城受到这次台风的影响。

2．设BF上D、E两点到A的距离为200千米，则台风中心在线段DE上时，对A城均有影响，而在DE以外时，对A城没有影响。

∵AC=150，AD=AE＝200，

∴DC＝＝50。

∴DE=2DC=100。

∴t==10（小时）。

答：A城受影响的时间为10小时。

【第二课时】

【教学目标】

一、知识目标。

1．探索切线与过切点的半径之间的位置关系。

2．了解切线的性质。

二、能力目标。

会利用切线的性质解决与圆有关的简单问题。

三、情感目标。

在探索图形性质的过程中，培养和发展学生的探索精神，提高学生的应用意识。

【教学重难点】

会利用切线的性质解决与圆有关的简单问题。

【教学方法】

教师指导学生探索法。

【教学过程】

一、创设问题情境，引入新课。

（一）下雨天当你快速转动雨伞时你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出，仔细观察一下，水珠是顺着什么方向飞出？

（二）用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然，这个小球突然脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球会顺着什么方向飞出？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况。

二、新课讲解。

（一）复习相切的相关知识点。

直线和圆的位置关系，直线与圆只有一个交点，称为直线与圆相切，此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点。

（二）议一议：

图（1）中的三个图形都是轴对称图形吗？如果是，你能分别画出它们的对称轴吗？

图（1）中的三个图形是轴对称图形。因为沿着d所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合。对称轴是d所在的直线，即过圆心O且与直线l垂直的直线。

（三）合作探索新知

1．同学们不妨在练习本上画一个圆O，及半径OA，画一条直线L经过⊙O的半径OA的外端A，且垂直于这条半径OA．观察这条直线与圆的位置特点。

2．如图，直线CD与⊙O相切于点A，半径OA与直线CD有怎样的位置关系？说说你的理由。

图（2）

对于（2）小颖和小亮都认为半径OA垂直于CD。同意他们的观点吗？请大家发表自己的想法。

所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线CD与⊙O相切于点A，半径OA与直线CD垂直，因为图（2）是轴对称图形，OA所在的直线是对称轴，所以沿它对折图形时，AC与AD重合，因此∠OAC=∠OAD＝90°。

因为直线CD与⊙O相切于点A，半径OA与直线CD垂直，直线CD是⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径。

这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论。

在图（2）中，OA与CD要么垂直，要么不垂直。假设OA与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以OA与CD垂直。

这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾。第三步是肯定假设错误，故结论成立。

（四）典型例题：

例2 城市广场上有一个圆形喷水池，如图是它的平面示意图。图中的圆环部分是喷水池的围墙。为了测量圆环的面积，小明和小颖取来一个卷尺，拉直后使它与内圆相切于点C，与外圆相交于点A，B，量得AB的长为12m，你能由此求出圆环的面积吗？（结果精确到0.1m2）

解：设喷水池平面图的圆心为点O，连接OC，OA。

∵AB与内圆相切于点C，

∴OC⊥AB

∵AB是外圆的弦，AB=12（m），

∴AC=BC=6（m）。

在RtΔACO中，

∵AC2+OC2=OA2，

∴OA2-OC2=AC2

于是，π·OA2-π·OC2=π（OA2-OC2）=πAC2

≈3.14×62

≈113.0（m2）。

所以，圆环的面积为113.0m2．

在解决有关圆的切线问题时，常需要做出过切点的半径。

三、课时小结。

本节课学习了如下内容：

圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

【第三课时】

【教学目标】

一、教学知识点。

1．能判定一条直线是否为圆的切线。

2．掌握切线的性质。

3．会过圆上一点画圆的切线。

二、能力训练要求。

1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力。

2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力。

三、情感与价值观要求。

1．经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

2．经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。

【教学重点】

探索圆的切线的判定方法，并能运用。

【教学难点】

探索圆的切线的判定方法。

【教学方法】

师生共同探索法。

【教学过程】

一、创设问题情境，引入新课。

[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交。判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径。

由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件。

二、新课讲解。

（一）探索切线的判定条件。

如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，

1．随着∠α的变化，点O到l的距离（d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？）

2．当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？

[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动。观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见。

[生]（1）如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1<r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d=r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切：当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2<r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离。

[师]回答得非常精彩。通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大。此时d=r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小，第2题就解决了。

[生]（2）当∠α=90°时，点O到l的距离d等于半径。此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切。

[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流。

[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点。

[师]很好。这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

（二）做一做。

已知⊙O上有一点A，过A做出⊙O的切线。

分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以做出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手。

[生]如图。

1．连接OA

2．过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线。

（三）例题讲解。

例3 已知：如图所示，ΔABC内接于⊙O，CD与AB的延长线相交于点D，且∠BCD=∠BAC。

求证：CD是⊙O的切线。

证明：

过点C作⊙O的直径CE，连接BE，

则：∠CBE=90°。

∴∠BEC+∠BCE=90°。

∵∠BEC=∠BAC，∠BCD=∠BAC

∴∠BEC=∠BCD，

∴∠BCD+∠BCE=90°。

∴EC⊥CD

∴CD是⊙O的切线。

三、课时小结。

本节课学习了以下内容：

1．探索切线的判定条件。

2．会经过圆上一点作圆的切线。

【第四课时】

【教学目标】

1．使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念。

2．应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力。

3．激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动。

【教学重点】

三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质。

【教学难点】

三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质。

【教学方法】

师生共同探索法。

【教学过程】

一、创设问题情境，引入新课。

如下图，△ABC是一张三角形纸片，你能从它上面剪出一个张面积最大的圆形纸片吗？

二、讲授新课。

（一）如何作三角形的内切圆。

分析：假设符合条件的圆已做出，则它应该与ΔABC的三边都相切，即它的圆心到三角形三边的距离相等。因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离。

解：1．作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I（如右上图）。

2．过I作ID⊥BC，垂足为D。

3．以I为圆心，以ID为半径作⊙I。⊙I就是所求的圆。

[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？

[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上。∵ID＝IN，∵ID＝IM＝IN。这是根据角平分线的性质定理得出的。

[师]因此和三角形三边都相切的圆可以做出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个。并且只能做出一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle of triangle），内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）。

（二）例题讲解。

如图，在△ABC中，∠A=68°，点I是内心，求∠BIC的大小。

解：∵∠A=68°

∴∠ABC+∠ACB=112°

∵点I是内心

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB

∴∠1+∠2=56°

∴∠BIC=124°

三、课时小结

本节课学习了以下内容：

1．会作三角形的内切圆。

2．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念。