2023年中考数学一轮大单元复习1.4分式过关卷(含答案)

1.4分式过关卷

注意事项：

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列分式中，是最简分式的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．

【详解】解：A．，不是最简分式，故选项错误，不符合题意；

B．，是最简分式，故选项正确，符合题意；

C．，不是最简分式，故选项错误，不符合题意；

D．，不是最简分式，故选项错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．

2．把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（    ）

A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．缩小为原来的 D．不变

【答案】D

【分析】根据分式的基本性质进行计算解答．

【详解】解：由题意得，

即把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值不变，

故选：D．

【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．

3．在化简

……①

……②

其中步骤①、②的运算依据分别属于（    ）

A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分

C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分

【答案】C

【分析】根据分式的化简方法，公式法，因式分解法即可求解．

【详解】解：这是提公因式；这是用完全平方公式分解因式，最后一步是分式的约分化简，

故选：．

【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式化简中提取公因式法，公式法，约分等知识是解题的关键．

4．下列运算结果为 的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分式的相关计算法则求解判断即可．

【详解】解：A、与不一定相等，不符合题意；

B、，符合题意；

C、与不一定相等，不符合题意；

D、与不一定相等，不符合题意；

故选B．

【点睛】本题主要考查了分式的化简，分式的乘除计算，分式的减法，熟知相关计算法则是解题的关键．

5．若的运算结果等于，则“”内的运算符号应该是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把加减乘除运算法则放入“”内计算得到结果，即可作出判断．

【详解】解：A、根据题意得：，不符合题意；

B、根据题意得：，不符合题意；

C、根据题意得：，不符合题意；

D、根据题意得：，符合题意．

故选：D．

【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将P点坐标代入到两个解析式，可以的到ab=8和b-a=-2，将代数式变形成，代入即可解决．

【详解】∵函数与y=x-2的图象交于点P（a,b），

∴ab=8，b=a-2，

∴b-a=-2，

∴

故选：C．

【点睛】本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，关键步骤是将代数式，变形成，再运用整体思想进行代入，是解题的关键．

7．已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：

①若A+B=10，则；

②，则x需要满足的条件是；

③，则关于x的方程无实数根；

④若x为正整数()，且为整数，则1，2，4，5．

上面说法正确的有（  ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】利用可求出，故①错误；对分情况讨论可知②正确；若，则或，利用根的判别式可知，时，方程无解，故③正确；由为整数，可得是整数，可求出，2，4，5，故④正确．

【详解】解：∵，，

∴①当时，则，解得：，故①错误；

②当，则，

当时，，解得：；

当，，解得：；

当，，解得：（舍去）；

综上所述：，故②正确；

③若，则或，

当时，，，无解；

当时，，，无解；

∴，关于x的方程无实数根；故③正确；

④∵，

若为整数，则是整数，

∵x为正整数()，解得：，2，4，5，故④正确；

∴正确的有②③④

故选：C

【点睛】本题考查分式的化简，含绝对值的一元一次方程的求解，根的判别式，能够正确解方程是解题的关键．

8．已知实数，，满足，有下列结论：若，则；若，则；若，则；若，则，其中结论正确的有（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据完全平方公式、等式的性质、分式的乘除运算即可求出答案．

【详解】解：若时，则，，

∴ ，故符合题意．

若，则，

，，

，故不符合题意．

若，则，

，故符合题意．

若，则，

，

，故符合题意．

正确的有

故选：D．

【点睛】本题考查完全平方公式、等式的性质、分式的加减与约分运算，掌握对完全平方公式与题中等式的变形和整体代换是解题的关键．本题属于中等题型．

9．有甲，乙两块边长为a米（a>8）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了某种小麦，其中甲试验田收获了200千克小麦，乙试验田收获了150千克小麦，对于这两块试验田的单位面积产量，下列说法正确的是（    ）

A．甲试验田的单位面积产量高 B．乙试验田的单位面积产量高

C．两块试验田的单位面积产量一样 D．无法判断哪块试验田的单位面积产量高

【答案】A

【分析】根据题意，分别表示出甲、乙的单位面积产量，再作差比较即可．

【详解】由题意得，

甲试验田的面积为，单位面积产量为；

乙试验田的面积为，单位面积产量为；

，，

，

，

故甲试验田的单位面积产量高；

故选：A．

【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键．

10．已知：，（其中a为整数，且）；有下列结论，其中正确的结论个数有（  ）

①中不含项，则；

②若为整式，则；

③若a是的一个根，则；

④若关于x的方程的两个解分别是，，则实数a的最大值为4．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】求得，根据题意，求得，即可判断①正确；由为整式，可知M能够分解出这个因式，从而求得，即可判断②错误；由题意求得，变形为，代入，通过计算分式的加法，从而求得，即可判断③错误；关于x的方程的两个解分别是，，则方程为，整理得到，配方即可得出a的最大值．

【详解】解：①

，

∵不含项，

，

，故①符合题意；

②∵为整式，

，

∴，故②不符合题意；

③若a是的一个根，

则a是的一个根，

∴a是的一个根，

，

，

，

＝

，故③不合题意；

∵关于x的方程的两个解分别是，，

则方程为，

整理得，

，

，

故a有最大值为4．故④符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了整式的运算，分式的运算，熟练掌握整式和分式的运算法则是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上

11．已知，那么________．

【答案】##0.5

【分析】直接利用已知得出，进而代入求出答案．

【详解】解：∵，

∴，

∴．

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确用b表示a是解题关键．

12．若，，都有意义，下列等式；；；中一定不成立的是 __．

【答案】②

【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可．

【详解】解：，，都有意义，

，，，

当时，①，④，

①④可能成立，故①④不符合题意；

根据分式的基本性质可得，故③不符合题意；

若成立，则有，

，

∴，

即，

∵，

∴，

∵，

∴与不可能相等，

不存在这样的、的值使原式成立，故②一定不成立．

故答案为：②．

【点睛】本题考查了分式的加减、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质及加减运算法则是解题关键．

13．已知：且，，，，，则等于______．

【答案】

【分析】分别求出、、，发现：每三个为一个循环，用2020除以3即可得到答案．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴

，

∴发现：每三个为一个循环，

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】此题考查了数字计算类的规律探究，分式的加减法计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则得到计算结果的规律是解题的关键．

14．试卷上一个正确的式子被小颖同学不小心滴上墨汁★．被墨汁★遮住部分的代数式为_______________ ．

【答案】

【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后转化进行计算即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

15．计算：_________．

【答案】

【分析】根据积的乘方的性质计算，即可得到答案．

【详解】

故答案为：．

【点睛】本题考查了积的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握积的乘方的性质，从而完成求解．

16．如图，一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为______（结果保留，球体积公式）．

【答案】

【分析】由题意可知：小球的直径为2r，每个小球的体积为，计算小球的总数， 就可以算出小球的总体积，算出长方体纸盒的体积为；根据纸盒空间利用率为小球总体积与纸箱容积的比即可解答；

【详解】由题意可知：小球的直径为2r，每个小球的体积为：

沿长边摆放了个小球，沿宽摆放了 个小球；

所以小球的总数为：

所以小球的总体积为：

长方体纸盒的体积为：

所以纸盒空间 利用率为：

故答案为： ．

【点睛】本题考查了圆，两圆相切的性质，如果两圆相切，那么连心线必经过切点，也考查了分式的运算．

三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．当​为何整数时，

(1)​分式​的值为正整数；

(2)​分式​的值是整数．

【答案】(1)0

(2)​或​或​或

【分析】（1）​若使该式的值为正整数，则​能够被​整除，所以​可以为​，​，​；即​，​，；由​为整数得，​即可；

（2）​分式​进行变形，化为​，若要使​值为整数，则​的值一定是整数，则​一定是​的约数，从而求得​的值．

【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则​能够被​整除，

​可以为​，​，​，

​，​，​，

​为整数，

​；

（2）解：​，

​的值为整数，且​为整数；

​为​的约数，

​的值为​或​或​或​；

​的值为​或​或​或​．

【点睛】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则．

18．有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式，，3，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张，第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母．

请用树状图写出抽取两张卡片的所有等可能结果，并求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．

【答案】

【分析】先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到是分式的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．

【详解】解：树状图如下所示：

由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中是分式的结果数有4种，

∴抽取的两张卡片结果能组成分式的概率为．

【点睛】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，分式的定义，正确画出树状图是解题的关键．

19．计算题

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据积的乘方先展开，再根据整式的乘除法运算即可求解；

（2）先通分，去括号，再根据分式的性质，分式的乘除法

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】本题主要考查积的乘方，幂的运算，分式的性质，化简，掌握幂的运算法则，分式的性质是解题的关键．

20．先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．

【答案】，当时，原式；当时，原式

【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可．

【详解】解：

，

∵，

∴，

∴当时，原式；

当时，原式．

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的相关计算法则是解题的关键．

21．先阅读下列解法，再解答后面的问题．

已知，求A、B的值．

解法一：将等号右边通分，再去分母，得：，即：，

∴，那得∴．

解法二：在已知等式中取，有，整理得；取，有，整理得，解，得．

(1)已知等式成立，求A、B的值；

(2)计算：，求取何整数时，这个式子的值为正整数．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）解法一：根据，即，得出，解之可得答案；解法二：根据在已知等式中分别取、，可分别得到、整理化简即可得到答案．

（2）裂项求解，可得原式，由式子的值为正整数知，从而得出答案．

【详解】（1）解法一：将等号右边通分，再去分母得：，

即：，

，

解得：．

解法二：在已知等式中取，有，整理得，

取，有，整理得，

，

解得：．

（2）解：原式，

，

，

∵式子的值为正整数，

∴，

则．

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则及裂项求解的方法是解题的关键．

22．甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＞v2），甲前一半的路程使用速度v1、后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v2、后一半的时间使用速度v1．

（1）甲、乙两人从A地到达B地的平均速度各是多少（用v1和v2表示）

（2）甲、乙两人谁先到达B地，为什么？

（3）如图是甲从A地到达B地的路程s与时间t的函数图象，请你在图中画出相应的乙从A地到达B地的路程s与t的函数图象．

【答案】（1）v甲＝， v乙＝；（2）乙先到达B地，理由见解析；（3）见解析．

【分析】（1）设AB两地的路程为s，乙从A地到B地的总时间为a．

先算出前一半的路程所用的时间，后一半的路程所用的时间相加，速度＝路程÷时间求出V甲；

先算出前一半的时间所行的路程，后一半的时间所行的路程相加，速度＝路程÷时间求出V乙；

（2）看甲、乙两人谁先到达B地，因为路程一定，比较V甲，V乙的大小即可；

（3）乙从A地到达B地的路程s与t的函数图象，乙的时间短，前一半的时间的图象与甲后一半的路程的图象平行，后一半的时间的图象与甲前一半的路程的图象平行．

【详解】解：（1）设AB两地的路程为s，乙从A地到B地的总时间为a．

（2）

∵0＜v2＜v1，

∴，乙先到B地．           

（3）如图

【点睛】本题主要考查了实际应用与一次函数图像相结合的问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

23．（1）化简求值，，其中是不等式组的整数解．

（2）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之．称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，

如：；

①下列分式中，属于真分式的是：______；

A．            B．        C．        D．

②将假分式化成整式与真分式的和的形式为：______＋______，若假分式的值为正整数，求整数a的值；

③将假分式化成整式与真分式的和的形式：______．

【答案】（1）；（2）①②，，整数a的值为、或；③

【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式，对分式进行化简，通分，根据分式的加减乘除混合运算法则化简为；在根据解一元一次不等式组的方法将不等式组的解集求出，根据题意取出整数解代入原分式方程，如果分式方程有意义则为分式方程的解，由此即可解答；

（2）①根据真分式的定义即可求解；②将即可求解，根据的值为正整数，可知当时，且，则，当时，，则，即可通过分类讨论求解；③将即可求解．

【详解】解：（1）

，

∵是不等式组的整数解，

∴解不等式组，

解不等式得，；解不等式得，，

∴不等式组的解集为，即整数解为，，，

当，时，代入原分式方程无意义，

∴，要舍去，

当时，代入原分式方程有意义，

∴当时，原分式方程，

故答案为：；；

（2）①选项，，分子的次数是次，分母的次数是次，不符合题意；

选项，，分子的次数是次，分母的次数是次，不符合题意；

选项，，分子的次数是次，分母的次数是次，符合题意；

选项，，分子的次数是次，分母的次数是次，不符合题意；

故选：；

②，若假分式的值为正整数，且为整数，

∴或且是的整数倍，

∴或，

即或；

当时，且，则，

，，符号题意；

，，不符号题意；

，，符号题意；

∴当时，的值为或；

当时，，则，

，，不符号题意；

，，符号题意；

∴当时，的值为．

综上所述，假分式的值为正整数，则整数的值为，，，

故答案为：，，整数的值为，或；

③，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查分式的基本性质，化简求值，解不等式的综合运用，掌握分式的基本性质，解不等式的方法，分类讨论是解题的关键．