2023年中考数学一轮大单元复习2.3提高训练：一元一次不等式（组）及其应用类型题举例(含答案)

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2.3提高训练：一元一次不等式（组）及其应用类型题举例

考点1：解一元一次不等式（组）
典例1：（2022秋·浙江·八年级期中）计算题．
(1)解不等式：，并写出所有的自然数解．
(2)解不等式组：，并把解表示在数轴上．

【答案】(1)自然数解为：0，1，2
(2)不等式组的解集为；在数轴上表示见解析
【分析】（1）先求出不等式的解集，然后写出不等式的自然数解即可；
（2）像求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴掌即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
自然数解为：0，1，2．
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如图：

巩固练习
1．（2022春·河南新乡·七年级校考期末）将不等式与的解集在同一数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出每一个不等式的解集可得答案．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
表示在数轴上如下：

故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，正确求出每一个不等式解集是关键．
2．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）一个不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则此不等式组的解集是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴表示不等式组解集的方法：实心点代表取“”、空心点代表不取“”；方向向右取“”或“”、方向向左取“”或“”即可得到答案．
【详解】解：由图可得不等式组的解集是，
故选：C．
【点睛】本题考查对用数轴表示不等式组解集方法的理解，熟记实心点代表取“”、空心点代表不取“”；方向向右取“”或“”、方向向左取“”或“”是解决问题的关键．
3．（2022秋·浙江温州·九年级统考期中）一元一次不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先移项，再把未知数的系数化“1”即可．
【详解】解：，
移项得：，
解得：，
故选C．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的解法步骤”是解本题的关键．
4．（2022秋·安徽宣城·九年级统考阶段练习）一元一次不等式的解集为______．
【答案】##
【分析】根据不等式的性质把不等式两边同时乘即可得到答案．
【详解】解：不等式的两边同时乘，得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级专题练习）下列解不等式的过程中，下列步骤：
①去分母，得；
②去括号，得；
③移项、合并同类项，得；
④系数化为1，得．
其中出现错误的一步是_________；
【答案】①
【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤，逐步检查，即可求解．
【详解】解：，
①去分母，得；（漏乘，出现错误）
②去括号，得；
③移项、合并同类项，得；
④系数化为1，得．
故答案为①
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1是解题的关键．
6．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）解不等式：．
【答案】
【分析】移项合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【详解】解：移项得，

即
两边同时除以可得，

化简得：．
【点睛】本题考查解不等式，解题的关键是注意符号的变化．
7．（2022秋·浙江·八年级专题练习）以下是红红同学解不等式：的解答过程；
解：


红红同学解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】有误，正确过程见解析
【分析】在去分母的时候有错误，所以红红的解答不对，正确解答即可．
【详解】解：红红同学的解答不对，正确的解答过程如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，去分母时，不等式的两边都乘以最简公分母是解题的关键．
8．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）解下列不等式（组）．
(1)．
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先去括号，移项，合并，系数化时根据不等式的性质：不等式的两边都乘以（除以）同一个负数，不等号的方向变化，即可得出结果．
（2）先解出不等式，再解出不等式，最后在数轴上找出两个不等式的公共部分，得到解集．
【详解】（1）解：（1）
去括号得：
移项得：
合并得：
系数化为得：
故答案为：
（2）解：
解不等式①得：
解不等式②得:
∴不等式组的解集为:
【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法等知识点，熟记不等式的性质是解题的关键．
9．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）按要求答题．
(1)解不等式：；
(2)解不等式组：．
【答案】(1)
(2)无解

【分析】（1）运用一元一次不等式的知识即可求解；
（2）运用一元一次不等式组的知识即可求解．
【详解】（1）移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得， ；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组无解．
【点睛】本题考查一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握一元一次不等式及一元一次不等式组的解法．
10．（2022·安徽合肥·校联考三模）解不等式组： ， 并把它的解集在所给的数轴上表示出来．

【答案】 ，数轴见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．（2022秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．
(1)
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析

【分析】（1）按照不等式的性质求解，并在数轴上表示出来即可；
（2）先分别解不等式①和②，由不等式组解集的取法得不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
把的系数化为得：；

（2），
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：．

【点睛】本题考查了解不等式和解不等式组，以及在数轴上表示其解集，牢固掌握不等式的性质，明确不等式组解集的取法，是解题的关键．
12．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）解下列不等式（组）：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）不等式去分母，移项合并，把系数化为1，即可求出解集；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：去分母得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式及不等式组的解法是解本题的关键．
13．（2022秋·浙江·八年级专题练习）解不等式（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）不等式去分母，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，其中一元一次不等式的解法步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．
14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）解下列不等式组并将解集在下列数轴上表示出来．
(1)
(2)
【答案】(1)，数轴上表示见解析
(2)，数轴上表示见解析

【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集并表示在数轴上即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集并表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：
解不等式①得；
解不等式②得 ．
∴不等式组的解集为．
把解集表示在数轴上为：

（2）
由①得，
由②得，
所以原不等式的解是，
所以在数轴上表示为

【点睛】本题考查了不等式组的解法和在数轴上表示解集，确定不等式解集时，要熟记口诀，去分母时注意不要漏乘没有分母的项．
考点2：含有字母参数的一元一次不等式（组）
典例1：（1）（2022秋·浙江·八年级专题练习）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是（ ）

A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣5
【答案】A
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化为1解出不等式，然后根据数轴图找出不等式解集，进而求出a的值．
【详解】解：去分母得：，
移项得：，
系数化为1得：，
根据数轴图知解集为，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，解题关键是熟知一元一次不等式的解法并能根据数轴图写出解集．
（2）（2022·全国·七年级专题练习）已知不等式的解集为，则______；
【答案】
【分析】现将不等式的解集用含的式子表示出来，再根据，即可求解．
【详解】解：
，
∴，解方程得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据不等式的解集求参数，解方程，掌握解不等式的方法，解方程的方法是解题的关键．
典例2：（2022春·安徽淮北·七年级校联考阶段练习）已知关于的不等式组
(1)当时，求不等式组的解集；
(2)若不等式组的解集是，求的值；
(3)若不等式组有三个整数解，则的取值范围是______．
【答案】(1)不等式组的解集为：；
(2)
(3)
【分析】（1）将代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集；
（2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定的取值范围；
（3）根据不等式组中确定不等式组的整数解，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，
∴原不等式组解得：，
∴不等式组的解集为：；
（2）解：当不等式组的解集是时，
，
解得；
（3）解：由，当不等式组有三个整数解时，
则不等式组的整数解为、、，
又∵且，
∴，
解得．
故答案为：．
巩固练习
1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）关于的一元一次不等式的解集为，则的值不能为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，可得关于的不等式，解不等式，可得答案．
【详解】解：由关于的一元一次不等式的解集为，得，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质得出关于的不等式是解题关键．
2．（2022春·湖南湘西·七年级统考期末）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是（ ）

A．－2 B．－3 C．－1 D．0
【答案】B
【分析】根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．
【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是．
∵，
∴，
∴，
∴解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【分析】由题意知，，，且，故不等式可变形为或，解之即可．
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴，且，
∴，
∴不等式可变为，
∴
∴或，
∴或．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，以及分式的值大于0的解法，考查学生的转化思想和运算求解能力，将分式的值大于零转化为不等式组是解答本题的关键．
4．（2022秋·河北张家口·八年级校考阶段练习）两个数和在数轴上从左到右排列，那么关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意判断出，即，再根据不等式的基本性质求解即可．
【详解】解：由题意知，
，
移项，得：，
化系数为1得：
则关于的不等式的解集为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式组无解得出，求出即可．
【详解】解：∵关于x的不等式组无解，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握利用一元一次不等式组无解求相关字母的取值是解题的关键．
6．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案．
【详解】解：由，
解得：，
由的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，
得：或，
解得：或，
∵不等式组有解，
∴，
解得：，
综上分析可知，，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性质，逆向应用是本题的特点．
7．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）已知关于的不等式组恰好有6个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解每个不等式，根据不等式组有6个整数解，确定整数解的值，进而求得的范围．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
∴，
∵不等式组的整数解有6个，
∴不等式组的整数解为、0、1、2、3、4，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据题意求出关于的不等式组．
8．（2022秋·浙江·八年级期末）若不等式组的解为，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式组的解集同大取较大，可得答案．
【详解】解：不等式组的解为，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解题的关键是要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不等式组整理后，表示出解集，根据整数解共有3个，确定出a的取值范围即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
∵不等式组的整数解共有3个，
∴，整数解为，0，1，
则a的取值范围是．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
10．（2022秋·八年级单元测试）若不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了，确定关于a的不等式，解之可得．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组无解，
，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为，满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．13 B．－15 C．－2 D．0
【答案】C
【分析】先解不等式组求得解集，然后再根据所有整数解的和为确定m的取值范围，进而确定m的可能取值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①可得：
解不等式②可得：
∴不等式组的解集为：
∵不等式组的所有整数解的和为
∴或
∴或
∴或
∴m的值为，则．
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式的应用等知识点，正确求解不等式成为解答本题的关键．
12．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）若不等式组有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据解一元一次不等式组的方法和步骤求出不等式组的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小没得找”即可进行解答．
【详解】解： ，
由①得，，
由②得，，
∵不等式组有解，
∴，即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握写出不等式组解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小没得找．
13．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）若关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式组的解集，再根据题意求a的取值范围即可．
【详解】解：，
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为，
因为不等式组只有4个整数解，
所以，
所以．
故选：D．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集和根据解集求取值范围，正确求出的取值范围是解题的关键．
14．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是______．
【答案】
【分析】根据已知不等式的解集，即可确定的值以及的符号，进而求得，进一步求得，从而解不等式即可．
【详解】解：移项，得：，
根据题意得：且，
即，
则，
又，即，
则，
则关于的不等式化为：，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，正确确定、的关系以及的符号是解题的关键．
15．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若关于的不等式的正整数解是，，，，则整数的最小值是______．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
【详解】∵，
∴，
∵不等式的正整数解恰是，，，，
∴，
∴的取值范围是．
∴整数的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，确定的范围是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．
16．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）若关于x的不等式的最大整数解为1，则a的取值范围是 ___________．
【答案】
【分析】先解出不等式的解集，再根据最大整数解为1列出关于a的不等式，求出a的范围即可.
【详解】解不等式，得：，
∵最大整数解为1，

解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含有参数的不等式，熟练掌握解不等式(组)是解题的关键.
17．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）若关于x的不等式有个非正整数解，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定a的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵不等式有4个非正整数解，
∴关于x的一元一次不等式的4个非正整数解是，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
18．（2022秋·浙江·八年级期末）如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是___________；
【答案】##
【分析】根据不等式组无解，得出新的不等式，求解新不等式，即可得出答案．
【详解】解：ｘ的不等式组无解，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式．
19．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考阶段练习）已知不等式组的解集为，则的值为__________．
【答案】##0.5
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于m、n的方程，然后求出m、n，最后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∵不等式组解集为，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法以及负数指数幂，根据不等式组的解集列出关于m、n的方程是解题的关键．
20．（2022秋·四川泸州·九年级统考期中）若关于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程的定义求出m的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
【详解】解：是一元二次方程，
，，
解得：，，
，
原不等式变为：，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出m的值．
考点3：方程（组）与不等式（组）综合问题
典例1：（2022秋·八年级课时练习）（1）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．

（2）已知关于、的方程组的解满足，求的最大整数值．
【答案】（1），数轴见解析；（2）0
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）两方程相加得，继而知，结合得，解之即可．
【详解】解：（1）由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

（2）两方程相加，得：，
，
，
，
解得，
的最大整数值为0．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是详解此题的关键．
典例2：（2022春·安徽淮北·七年级校联考阶段练习）已知关于的分式方程．
（1）若此方程的解为，则______．
（2）若此方程的解为正数，则的取值范围为______．
【答案】 且
【分析】（1）将代入原方程，可求出的值；
（2）解分式方程，可得出，结合方程的解为正数，且分式方程的分母不能为，即可得出的取值范围为且．
【详解】（1）解：将代入原方程得，解得：，
的值为，
故答案为：；
（2）解：解分式方程得：，
分式方程的解为正数，
且，即，且，解得：，且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查分式方程的解，牢记定义“求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解”是解题的关键．
典例3：（2022秋·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解，求所有的整数m的和.
【答案】
【分析】解不等式组，根据不等式组有解确定的取值范围．解分式方程，用含的代数式表示出，根据分式方程有非负整数解求出，即可得出答案．
【详解】解：整理不等式组，得，
不等式组有解，
不等式组的解集为，
即，
解得．
化简分式方程，得，
解得，
由题意知，分式方程有意义，
，
，即，
分式方程有非负整数解，
是3的非负整数倍，
或3
或，
所有的整数的和为．
巩固练习
1．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）若关于x的分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．49
【答案】B
【分析】先解分式方程，再根据关于x的分式方程的解是非负整数解，可得，且，再根据，求出a的取值范围，进一步可得满足条件的整数a的值，再求和即可．
【详解】解：去分母，得，
解得x＝，
∵关于x的分式方程的解是非负整数解，
∴且，
解得且，
∵，
∴，
∴a的取值范围是且，
∴满足条件的整数a的值有6，10，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
2．（2022秋·八年级单元测试）若不等式的最小整数解是方程的解，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式的最小整数解，代入方程，求出a的值即可．
【详解】解：∵解不等式得，，
∴其最小整数解为，
∴，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．也考查了一元一次方程的解法．
3．（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）若关于x的分式方程的解是非负数，则b的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】B
【分析】解分式方程，可得出分式方程的解为，结合分式方程的解为非负数且，即可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出b的取值范围．
【详解】解：解分式方程得，
∵x是非负数且，
∴且，
解得：且，
∴b的取值范围为且．
故选B．
【点睛】本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式，正确求解分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
4．（2022春·四川达州·八年级统考期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则k的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．
【答案】B
【分析】先把分式方程化为整式方程，然后得出分式方程的解，进而问题可求解．
【详解】解：由分式方程可得：，
∵该分式方程的解为非负数，
∴，且，
解得：且；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的解法是解题的关键．
5．（2022秋·河北石家庄·八年级辛集市辛集镇育红中学校考期末）若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．
【答案】B
【分析】表示出分式方程的解，由解为正数确定出的范围即可．
【详解】解：分式方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为正数，得到，且，
解得：且．
故选：B
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式的解集，解题关键是始终注意分母不为这个条件．
6．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）若关于的分式方程有正数解，且关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．9 B．6 C．11 D．14
【答案】B
【分析】解不等式组，根据不等式组有解得到，求出，解分式方程，根据方程有正数解得到且，进一步得到且，可得a的取值，相加即可．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵一元一次不等式组有解，
∴，
∴，
，
，
解得：，
∵分式方程有正数解，
∴且，
∴且，
∴a的值为2或4，
∴整数a的值之和为，
故选B．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
7．（2022秋·重庆江津·八年级统考期末）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．4 B．9 C．11 D．12
【答案】B
【分析】首先解分式方程，根据解是非负数，且不是增根，即可得a的取值范围；再解每一个一元一次不等式，根据解集为得到a的取值范围，据此即可得到a的最终范围，即可求得所有整数a的值，再求和即可．
【详解】解：分式方程两边都乘以得：，
解得，
∵分式方程的解是非负数，且，
且，
解得：且，
解不等式组得到：，
∵不等式组的解集为，
，
，
且，
∴符合条件的整数a的值为：，，0，1，2，4，5，
∴符合条件的所有整数a的和为：
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．
8．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组恰有4个整数解，则满足条件的所有整数值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出的值，表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有7个整数解，得到的值相加即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程解为正整数，且，得到
，
，
解得：，
不等式组整理得：，
解得：，
由不等式组有解且恰有4个整数解，得到整数解为4，3，2，1，
，
，
则满足题意的值只能为，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
9．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．11 B．14 C．16 D．9
【答案】A
【分析】分别解出两个一元一次不等式，根据它们没有公共部分，确定的取值范围，求出分式方程的解，根据方程有正整数解，确定的值，再将满足条件的所有整数a，进行相加即可得解．
【详解】解：由，得：；
由，得：；
∵不等式组无解，
∴，即：；
∵，
解得：；
∵方程有正整数解，且，
∴满足条件的所有整数或或，
∵，
∴或，
∴满足条件的所有整数a的和为：；
故选A．
【点睛】本题考查解含参的不等式组和分式方程．熟练掌握大大小小，不等式组无解，以及解分式方程的步骤，是解题的关键．
10．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）若实数使关于的分式方程有正整数解，且使关于的不等式组无解，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【分析】首先解出分式方程，得出，再根据分式有意义的条件，得出，再根据题意，得出且，然后分别解出不等式，再根据关于的不等式组无解，得出，解出即可得出，综合得出且，再根据为正整数，得出取、、，然后相加即可得出答案．
【详解】解：
分式两边同乘以，可得：，
移项、合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：，
∵，
∴，
∵分式方程有正整数解，
∴，且，
∴且，
，
解不等式，可得：，
解不等式，可得：，
∵关于的不等式组无解，
∴，
解得：，
∴综合可得：且，
又∵为正整数，
∴取、、，
∴满足条件的所有整数的和是．
故选：C
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，考核学生的计算能力，解分式方程时一定要检验．
11．（2022秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考阶段练习）如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】先由关于x的不等式组的解集为，得出，再由关于x的分式方程有非负整数解，得出或5，从而得出答案．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
关于x的不等式组的解集为，
，
又分式方程去分母，得，
去括号、移项、合并、系数化为1，得，
根据题意是非负整数解，，
或5，
；
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组与分式方程，熟练掌握已知一元一次不等式组的解集求参数与已知分式方程的解的情况求值，特别注意分式方程一定要检验是解答此题的关键．
12．（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）已知整数a，使得关于x，y的二元一次方程组的解为正数，且关于x的一元一次不等式至少有3个负整数解，则满足条件的整数a的个数有（ ）
A．6 B．5 C．4 D．1
【答案】C
【分析】先解方程组，再利用方程组的解为正数列不等式组得到a的范围，再解不等式，利用不等式至少有3个整数解，列关于a的不等式得到a的范围，再确定a的公共部分，结合整数a，从而可得答案．
【详解】解：
①②得：，
把代入①得：，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵关于x的一元一次不等式至少有3个负整数解，
∴负整数解至少为，，，
∴，
解得：，
∴，
∵为整数，
∴为，，，，共4个数，
故选C．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，不等式的整数解，熟练的利用不等式的整数解求解参数字母的值的范围是解本题的关键．
13．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论，其中错误的个数是（ ）
①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解
②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；
③不论a取什么数，2x+7y的值始终不变；
④若x≤1，则y≥；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】解方程组得，①将a＝1的值代入方程组的解和方程中进行判断即可；②将a＝﹣2代入方程组的解，依据相反数的概念判断即可；③将所求x、y代入2x+7y，判断最后化简结果与a有无关系即可；④由x≤1得出a的范围，再结合a的范围求出的范围即可．
【详解】解：解方程组得，
①当a＝1时，，此时方程x+y＝4﹣1＝3，x＝3、y＝0是该方程的解，正确，不符合题意；
②当a＝﹣2时，，x、y不是互为相反数，错误，符合题意；
③2x+7y＝＝6，不论a取什么数，2x+7y的值始终不变，正确，不符合题意；
④若x≤1，则≤1，解得a≤，此时≥，正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次不等式及不等式组的能力．
14．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______．
【答案】且
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】解：去分母得，，
∴，
∵方程的解是正数，
∴即，
又因为，
∴，
∴，
∴，
则m的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解是关键．
15．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）若关于的方程的解满足不等式，则可取的负整数为______．
【答案】，
【分析】先解方程，求得，再解不等式得，然后解不等式，得出的取值范围，进而求解即可．
【详解】解：解方程，得，
解不等式，得，
∵关于的方程的解满足不等式，
∴，解得，
所以满足条件的的负整数值为，．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．求出方程的解是解题的关键．
16．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＞5，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】将两根方程相加可得，根据得出关于a的不等式，解之可得答案．
【详解】解：将两个方程相加可得，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变．
17．（2022春·湖南湘西·七年级统考期末）若方程组的解满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】将方程组中的两个方程相加并化简可得，进而可得，即可得到结果．
【详解】解：
得：
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，正确理解题意、掌握加减消元法是关键．
18．（2022秋·湖南郴州·八年级校联考期末）若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数a的值之和为__________．
【答案】15
【分析】利用不等式无解及分式方程的解为非负数得到a的取值范围，再求所有满足条件的整数a的值之和即可．
【详解】解：∵无解，即无解，
∴，解得：，
∵关于x的分式方程的解为非负数，即，
∴，
综上：，
所有满足条件的整数a的值之和：，
故答案为：15
【点睛】本题主要考查不等式无解的定义及分式方程的解法和非负数的定义，能够熟练的解不等式及分式方程是解题关键．
19．（2022秋·广东江门·八年级统考期末）若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件所有整数的积为______．
【答案】8
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出且，根据不等式组的解集为，即可得出，找出且，中所有的整数，将其相乘即可得出结论．
【详解】解：分式方程的解为且，
∵分式方程的解为正数，
∴且，
∴且，

解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵关于y的不等式组的解集为，
∴，
∴且，
又为整数，则的值为2，4，
符合条件的所有整数的积为，
故答案为：8
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，找出的取值范围是解题的关键．
20．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）要使方程组有正整数解，则整数a有___________个．
【答案】4
【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可．
【详解】解：，
由②得：③，
把③代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
即方程组的解是，
∵方程组有正整数解，
∴，
解得：，
∴整数a有，，0，4，共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
21．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是 __．
【答案】
【分析】由已知方程组得出且，根据得出关于的不等式组，解之即可得出答案．
【详解】解：，
，得：，
∴，
，得：，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据方程组和不等式组得出关于m的不等式组．
22．（2022秋·山东青岛·九年级青岛三十九中校考期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若为负整数，方程的两个根都是整数，直接写出的值______．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用根的判别式求解；
（2）根据（1）中结论及为负整数，可知或，分别代入原方程，求出方程的根，再根据两个根都是整数对值进行取舍即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
．
（2）解：，为负整数，
或，
当时，，
，
解得，，两个根不是整数，不合题意；
当时，，
即，
解得，，两个根都是整数，符合题意；
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
23．（2022·河北沧州·统考二模）解方程组．
(1)下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：，即
把方程①代入③得：…
请完成解方程组的过程；
(2)若方程的解满足，求整数a的值．
【答案】(1)
(2)2或3

【分析】（1）把方程①整体代入③得到关于y的方程，求得，再把代入①得到，从而得到方程组的解；
（2）把方程组的解代入得到关于a的不等式组，解不等式组求出整数解即可．
【详解】（1）下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：，即
把方程①代入③得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解是；
（2）由（1）可知方程的解为，
∵方程的解满足，
∴，
解得．
∴整数a为2或3．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的整数解等知识，读懂题意，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键．
考点4：不等式（组）的应用问题
典例1：（2022秋·全国·八年级专题练习）顺丰快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，已知购买1台甲型机器人比购买1台乙型机器人贵2万元，且用16万元购回乙型机器人的台数与24万元购回甲型机器人的台数相同．
(1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
(2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？
【答案】(1)甲种型号机器人每台的价格是6万元，则乙种型号机器人每台的价格是4万元；
(2)见解析．
【分析】（1）设甲种型号机器人每台的价格是x万元，则乙种型号机器人每台的价格是万元，然后根据等量关系“用16万元购回乙型机器人的台数与24万元购回甲型机器人的台数相同”列出分式方程求解即可；
（2）设购买甲种机器人m台，则购买乙种机器人台，然后根据题意列不等式组确定m的取值范围，进而确定两种机器人的数量；然后分别求出费用，最后比较即可解答．
【详解】（1）解：设甲种型号机器人每台的价格是x万元，则乙种型号机器人每台的价格是万元，
根据题意得：
，解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合实际意义，
（万元）．
答：甲种型号机器人每台的价格是6万元，则乙种型号机器人每台的价格是4万元．
（2）解：设购买甲种机器人m台，则购买乙种机器人台，
根据题意得：，
解得：，
当时，，
即购买甲种机器人2台，乙种机器人6台，费用为：（万元），
当，
即购买甲种机器人3台，乙种机器人5台，费用为：（万元），
当，
即购买甲种机器人4台，乙种机器人4台，费用为：（万元）．
综上可知：购买甲种机器人2台，乙种机器人6台费用最低，最低费用是36万元．
答：该公司有三种购买方案，分别是：①购买甲种机器人2台，乙种机器人6台，②购买甲种机器人3台，乙种机器人5台，③购买甲种机器人4台，乙种机器人4台，其中购买甲种机器人2台，乙种机器人6台费用最低，最低费用是36万元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，根据题意列出分式方程和不等式组是解答本题的关键．
典例2：（2022春·北京西城·七年级北师大实验中学校考期末）《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》中明确指出：“健康体魄是青少年为祖国和人民服务的基本前提，是中华民族旺盛生命力的体现．”王老师所在的学校为加强学生的体育锻炼，需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：

足球数量（个）
篮球数量（个）
总费用（元）
第一次
6
5
700
第二次
3
7
710
第三次
7
8
693
(1)王老师是第 次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；
(2)求足球和篮球的标价；
(3)如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，王老师决定从该商场一次性购买足球和篮球60个，且总费用不能超过2500元，那么最多可以购买 个篮球．
【答案】(1)三
(2)50元，80元
(3)38个
【分析】（1）根据图表可得按打折价购买足球和篮球是第三次购买；
（2）设足球的标价为元，篮球的标价为元，根据图表列出方程组求出和的值；
（3）设购买个篮球，根据从该商场一次性购买足球和篮球60个，且总费用不能超过2500元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：王老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售．
理由：王老师在某商场购买足球和篮球共三次，只有一次购买时，足球和篮球同时打折，其余两次均按标价购买，
且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，
按打折价购买足球和篮球是第三次购买；
（2）解：设足球的标价为元，篮球的标价为元．
根据题意，得，
解得：．
答：足球的标价为50元，篮球的标价为80元；
（3）解：设购买个篮球，依题意有
，
解得．
故最多可以买38个篮球．
故答案为：三；38．
【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
巩固练习
1．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）某学校欲购买A，B两种型号拖把．其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等．
(1)求A、B型拖把的单价分别是多少元？
(2)若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？
【答案】(1)A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元
(2)购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元

【分析】（1）设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元，利用用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等，建立方程即可；
（2）设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元，再利用总费用等于购进两种拖把的费用之和建立函数关系式，再利用函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴．
答：A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元．
（2）设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元，
由得
根据题意得：，
∵，
∴当时，，
∴．
答：购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，确定相等关系或不等关系建立方程或不等式或函数关系式是解本题的关键．
2．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价）
类别价格
A款纪念品
B款纪念品
进货价（元/件）
20
15
销售价（元/件）
35
27

(1)该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；
(2)第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少?
(3)成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)A、B两款纪念品分别购进20件和30件．
(2)购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元．
(3)B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元．

【分析】(1)设A、B两款纪念品分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款纪念品共30件”列出二元一次方程组即可求解；
(2)设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品(80-m)件，根据“进货总价不高于3200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；
(3)设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元，由“平均每天销售利润为90元”得到，求解即可．
【详解】（1）解：设A、B两款纪念品分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款纪念品分别购进20件和30件．
（2）解：设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元．
（3）解：设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元，
由题意可知：，
解出： ，，
当时，元；当时，元
故B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．
3．（2022秋·山西朔州·八年级校联考期末）某服装店到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多元，已知用元购进A种服装的数量是用元购进B种服装数量的2倍．
(1)求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
(2)若A品牌服装每套售价为元，B品牌服装每套售价为元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总利润不少于元，则最少购进A品牌的服装多少套？
【答案】(1)A、B两种品牌服装每套进价分别为元、元．
(2)至少购进A品牌服装的数量是9套．

【分析】（1）首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为元，根据关键语句“用元购进A种服装的数量是用元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装套，根据“可使总利润不少于元”列出不等式，再解不等式即可．
【详解】（1）设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原分式方程的解

答：A、B两种品牌服装每套进价分别为元、元；
（2）设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装套，
由题意得：
解得
因为a取整数
所以
答：至少购进A品牌服装的数量是9套．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A、B两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
4．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期末）某学校购买一批篮球和排球，已知购买2个篮球和1个排球需170元，购买5个篮球和2个排球需400元．
(1)分别求篮球和排球的单价．
(2)该学校准备购买篮球和排球共100个，每种球至少买一个且篮球个数不少于排球个数的3倍．
①设购买篮球（个），总费用为（元），写出关于的函数表达式并写出自变量的取值范围；
②请设计总费用最低的购买方案，并求出最低费用．
【答案】(1)篮球的单价是60元，排球的单价是50元
(2)①；②总费用最低的购买方案是购买篮球75个，排球25个，此时的费用为5750元．

【分析】（1）根据费用可得等量关系为：购买2个篮球和1个排球需170元，购买5个篮球和2个排球需400元，列出方程组，求解即可；
（2）①根据题意和（1）中的结果，可以写出 W 关于 m 的函数解析式；
②根据①中的结果和一次函数的性质，可以得到总费用最低的购买方案，并求出最低费用．
【详解】（1）解：设购买一个篮球需要x元，购买一个排球需要y元，
根据题意，得，
解得：，
答：篮球的单价是60元，排球的单价是50元；
（2）解：①由题意可得：，
∵篮球个数不少于排球个数的3倍
∴
解得：
关于的函数表达式为：；
②由①知：，
∴随m的增大而增大，
∵，
∴当时，取得最小值，此时，
，
答：总费用最低的购买方案是购买篮球75个，排球25个，此时的费用为5750元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）哈工大图书馆新进一批图书，张强和李明两位图书员负责整理图书，已知张强3小时清点完这批图书的一半，李明加入清点另一半图书的工作，两人合作小时清点完另一半图书；
(1)如果李明单独清点这批图书需要几小时？
(2)经过一段时间，这批图书破损严重，哈工大图书馆决定在致知书店购买甲、乙两种图书共120本进行补充，该书店每本甲种图书的售价为25元，进价20元；每本乙种图书的售价为40元，进价30元．如果此批图书全部售出后所得利润不低于950元，那么该书店至少需要卖出乙种图书多少本？
【答案】(1)李明单独清点这批图书需要4小时
(2)该书店至少需要卖出乙种图书70本

【分析】（1）设李明单独清点这批图书需要x小时，根据题意可知张强单独清点这批图书需要6小时，列分式方程求解即可得到答案；
（2）设书店卖出乙种图书m本，根据题意列不等式方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：张强3小时清点完这批图书的一半，
张强单独清点这批图书需要小时，
设李明单独清点这批图书需要x小时，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：李明单独清点这批图书需要4小时；
（2）解：设书店卖出乙种图书m本，则书店卖出甲种图书本，
根据题意得：，
解得：，
答：该书店至少需要卖出乙种图书70本．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找准数量关系列方程和不等式是解题关键．
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第三十七中学校校考阶段练习）冬季来临，是流感的高发期，我校积极进行班级环境消毒，总务处购买甲、乙两种消毒液共100瓶，购买这两种消毒液共用780元，其中甲种消毒液共用240元，且乙种消毒液的单价是甲种消毒液单价的1.5倍．
(1)求甲、乙两种消毒液的单价各为多少元？
(2)该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），共140瓶，且所需费用不超过1200元，问甲种消毒液至少要购买多少瓶？
【答案】(1)甲种消毒液的单价为6元，乙种消毒液的单价为9元
(2)甲种消毒液至少要购买20瓶

【分析】（1）设甲种消毒液的单价为x元，则乙种消毒液的单价为1.5x元，根据甲、乙两种消毒液共100瓶列出方程，解方程即可；
（2）设购买m瓶甲种消毒液，则购买瓶乙种消毒液，根据两种消毒液所需费用不超过1200元，列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设甲种消毒液的单价为x元，则乙种消毒液的单价为1.5x元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲种消毒液的单价为6元，乙种消毒液的单价为9元．
（2）解：设购买m瓶甲种消毒液，则购买瓶乙种消毒液，
依题意得：，
解得：，
∴m的最小值为20．
答：甲种消毒液至少要购买20瓶．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式．
7．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）一把直角三角尺的一边紧贴在直线l上，，，，直角三角尺先绕点C顺时针旋转，使落在直线1上，然后绕点A顺时针旋转，使落在直线l上，再绕点B顺时针旋转，使落在直线l上，此时，三角形的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．请问，再经过几个周期，点B走过的路程就会超过100？

【答案】
【分析】根据弧长公式算出一个周期点B所走弧长和，设经过x个周期路程就会超过100列式解出即可．
【详解】解：设共经过x个周期，
由题意可得，
绕点C顺时针旋转点B所走弧长为： ，
绕点A顺时针旋转点B所走弧长为：，
当，取，
，
∴再经过个周期，点B走过的路程就会超过100．
【点睛】本题考查扇形弧长公式的运用及不等式求解，解题关键是找到一个周期点B走过两个圆弧．
8．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
【答案】(1)30
(2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元
(3)70

【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可．
【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，
∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天），
∴，
解得，，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
故乙队单独施工30天完成全部工程；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,
∴，
解得，，
故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴
∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键．
9．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）近年来新冠疫情给人们的生活带来很大影响，体温问题倍受人们关注．某商场计划购进一批甲、乙两种，每台乙设备价格比每台甲设备价格多1.4万元，花6万元购买甲设备和花14.4万元购买乙设备的数量相同．
(1)求甲、乙设备每台各多少万元？
(2)根据销售情况，需购进甲、乙两种设备共40台，总费用不高于60万元，求甲种设备至少要购买多少台？
(3)若每台甲种设备售价1.8万元，每台乙种设备售价4万元，在（2）的情况下商场应如何进货才能使这批空气净化装置售完后获利最多？
【答案】(1)甲种设备每台1万元，乙种设备每台万元
(2)甲种设备至少购买26台
(3)当购买甲种设备26台，乙种设备台时，获利最多

【分析】（1）设每台甲种设备万元，则每台乙种设备万元，根据花6万元购买甲设备和花14.4万元购买乙设备的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设购买甲种设备台，则购买乙种设备台，根据总费用不高于60万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最小正整数即可；
（3）设利润为万元，可得，由一次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：设每台甲种设备万元，则每台乙种设备万元，由题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
答：甲种设备每台1万元，乙种设备每台万元；
（2）解：设购买甲种设备台，则购买乙种设备台，由题意得：
根据题意得：，
解得：，
为整数，
∴甲种设备至少购买26台；
（3）解：设利润为万元，由题意得：
，
，
随的增大而减小，
∵，且为整数，
时，有最大值，
答：当购买甲种设备26台，乙种设备台时，获利最多．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
10．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）某地由于开发建设，需要对居民进行移民搬迁工作，2020年为做好移民搬迁，投入资金2000万元用于移民搬迁安置，并规划投入资金逐年增加，2022年投入资金2880万元．
(1)从2020年到2022年，该地投入移民搬迁安置资金的年平均增长率为多少？
(2)在2022年移民搬迁安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于736万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励12元，1000户以后每户每天奖励8元，按租房400天计算，求2022年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
【答案】(1)从2020年到2022年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；
(2)2022年该地至少有1800户享受到优先搬迁租房奖励．

【分析】（1）设年平均增长率为，根据：2020年投入资金给增长率）年投入资金，列出方程求解可得；
（2）设2022年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金前1000户奖励的资金超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于736万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
答：从2020年到2022年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；
（2）解：设2022年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，
根据题意得：，
解得：，
答：2022年该地至少有1800户享受到优先搬迁租房奖励．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列出关于的一元一次不等式．
11．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．
(1)甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？
(2)如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有哪几种方案？
【答案】(1)甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元；
(2)有三种方案：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套；方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套；方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套．

【分析】（1）设甲种套房每套提升费用为万元，则乙种套房每套提升费用为万元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设甲种套房提升套，那么乙种套房提升套，根据题意，列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设甲种套房每套提升费用为万元，乙种套房每套提升费用为万元，
依题意，可得
解得：
经检验：符合题意，
；
答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元．
（2）解：设甲种套房提升套，那么乙种套房提升套，
依题意，得，
解得：
因为取整数
即或或，所以有三种方案，
方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套．
方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套
方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套．
【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系和不等式关系，正确列出方程和不等式．