2023年中考数学一轮复习——直击中考几何专题专题08 特殊平行四边形的综合问题（通用版）

专题08 特殊平行四边形的综合问题

【直击中考】

【考向一 特殊平行四边形中的折叠问题】

例题：（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）将矩形纸片沿折叠得到，与交于点E，若，则的度数为（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

【变式训练】

1．（2022秋·九年级课时练习）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（    ）．

A． B． C． D．

2．（2021·云南红河·统考一模）如图，菱形的周长为8厘米，，点M为的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当_________厘米时，是直角三角形．

3．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点的对应点为点，折痕为且交于点．

（1）______；

（2）若点是的中点，则的长为______．

4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．

(1)求证：．

(2)如图2，E为的中点，连接．

①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．

【考向二 特殊平行四边形中旋转问题】

例题：（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．

(1)求证：：

(2)若，求的长．

【变式训练】

1．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．

2．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．

(1)如图1，当时，求点D的坐标；

(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；

(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．

3．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）综合与实践

【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片和放置在一起.若固定正方形，将正方形绕着点A旋转．

(1)【数学思考】如图1，当点E在边上，点G在边上时，线段与的数量关系是    ，位置关系是     ．

(2)如图2，是将正方形绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且，求线段的长度（直接写出答案）．

【考向三 特殊平行四边形中定值问题】

例题：（2022秋·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，是上异于和的任意一点，且于，于，则为_____．

【变式训练】

1．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，菱形的周长为20，面积为24，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______

2．（2022春·四川成都·九年级成都市第二十中学校校考阶段练习）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作，延长线的垂线，垂足分别为点，若，，则的值为______．

3．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作交于点F，以为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；

(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

4．（2022春·四川德阳·八年级统考期末）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝1，连接CF．

(1)当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．

(2)当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．

【考向四 特殊平行四边形最小值问题】

例题：（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（    ）

A．5 B． C． D．10

【变式训练】

1．（2022秋·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，，．点D为边上一个动点，作、，垂足为E、F，连接．则长度的最小值为______．

3．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，则的最小值为______．

4．（2022秋·陕西汉中·九年级校考期中）如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为______．

5．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，满足∠EAF=60°，连接EF，且E，F不与B，C，D重合．

(1)求证：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE=CF；

(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．

【考向五 特殊平行四边形中点四边形问题】

例题：（2022春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（　）

A．当四边形是矩形时，四边形是菱形

B．当四边形是菱形时，四边形是矩形

C．当四边形满足时，四边形是菱形

D．当四边形满足，时，四边形是矩形

【变式训练】

1．（2022春·北京西城·八年级校考期中）四边形的对角线，交于点，点，，，分别为边，，，的中点．有下列四个推断：

①对于任意四边形，四边形都是平行四边形；

②若四边形是平行四边形，则与交于点；

③若四边形是矩形，则四边形也是矩形；

④若四边形是正方形，则四边形也一定是正方形．

所有正确推断的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，依次连接，，，，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；

3．（2021春·上海长宁·八年级统考期末）如图，、是四边形的对角线，点E、F、G、H分别是线段、、、上的中点

（1）求证：线段、互相平分；

（2）四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论．

4．（2021秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形．

(1)四边形的形状是______，请证明你的结论；

(2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形；

(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．

5．（2021春·河北石家庄·八年级统考期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．

（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：

①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；

②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．

（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．

【考向六 特殊平行四边形中的动态问题】

例题：（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，在菱形中，，点E是边的中点．点M是边上一动点（不与点A重合），连接并延长交的延长线于点N，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)当时，求证：四边形是矩形；

(3)填空：当的值为        时，四边形是菱形．

【变式训练】

1．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图①，在矩形ABCD中，AB>AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为（    ）

A．6 B．6.4 C．7.2 D．8

2．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）如图1，菱形ABCD中，，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线运动到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（    ）

A．2 B．2.5 C．3 D．

3．（2022秋·广西防城港·九年级统考期中）如图，已知是正方形内一点，，，将绕点旋转至，连结．

(1)直接写出、的长度和的度数．

(2)求的长．

(3)试判断的形状并说明理由．

4．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在矩形中，，，点P在边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．

(1)用含t的式子表示线段的长度：______cm，

(2)当时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．

(3)当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．