四川省泸州市2022-2023学年泸县第四中学高三二诊摸拟考试数学（理）试题（含答案）

泸县四中2020级高三第二次诊断性模拟考试

  数 学（理工类）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。

第I卷 选择题（60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点所表示的复数满

足，则复数

A． B．    C．    D．

3．甲､乙两台机床生产同一种零件，根据两台机床每天生产零件的次品数，绘制了如下茎叶图，则下列判断错误的是

A．甲的平均数大于乙的平均数 B．甲的众数大于乙的众数

C．甲的方差大于乙的方差 D．甲的性能优于乙的性能

4．已知某几何体的三视图如图所示（图中网格纸上小正方形边长为1），则该几何体的体积为

A． B．15 C． D．20

5．已知是第四象限角，，则

A．          B．                 C．              D．

6．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．在如图所示的计算程序框图中，判断框内

应填入的条件是

A． B． 

C． D．

8．已知函数，其中.若函数的最小正周期为，且当时，取最大值，是

A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数

C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数

9．若，则

A． B．

C． D．

10．已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为的等差数列，且，则的前项的和为

A． B． C． D．

11．已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率的平方为

A． B． C． D．

12．关于x的不等式对任意x>1恒成立，则a的取值范围是

A．   B．    C．   D．

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．曲线在处的切线方程为 _____．

14．3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为______．

15．若实数满足，且，则的最大值为______.

16．如图，在四边形中，，，，，，点是线段上的一个动点，则的最小值为___________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必做题：共60分．

17．（12分）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，．

（1）求与；

（2）设，数列的前项和记为，求．

18．（12分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：         

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．

（1）写出频率分布直方图（甲）中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）

（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；

（3）设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望．

19．（12分）如图，，分别是圆台上下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）.

（1）求证：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

20．（12分）已知抛物线，直线，过点作直线与交于，两点，当时，为中点.

（1）求的方程；

（2）作，，垂足分别为，两点，若与交于，求证：.

21．（12分）已知函数有两个零点，.

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：.

（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

（1）若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；

（2）已知点A（0，1），若曲线C1方程中的参数是t，0＜α＜π，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求的最大值.

23．（10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）解不等式；

（2）已知，若恒成立，求函数的取值范围.

泸县四中2020级高三第二次诊断性模拟考试

数 学（理工类）参考答案：

1．A  2．B  3．D  4．C  5．D  6．D  7．A  8．B  9．B  10．C  11．D   12．B

13．   14．   15．   16．

17．解：（1）设正项等比数列的公比为()，

由解得，所以，．

（2）由（1）得，

所以，①

，②

①-②得，所以．

18．（1）由各小矩形的面积和为1可得：，解之的

；由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在箱，故

．

（2）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则，．所以 ．

（3）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3．

， ，

，．

所以的分布列为

所以 的数学期望．

19．解：（1）由题意，分别是圆台上下底面的圆心，可得底面，

因为底面，所以，

又由点是下底面内以为直径的圆上的一个动点，可得，

又因为，且平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，则，，

可得，所以，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，所以，

又由，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，所以，

所以，

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

20．（1）设，，

当时，的方程为即,

由可得，，

∵为的中点，∴，∴，的方程为；

（2）证明：当时，则四边形为矩形，为的中点，

由（1）可知为的中点，

∴为的中位线，；

当与不平行时，设与相交于，不妨设从左至右依次为点A、B、M，如图，

由题意显然成立，只要证，即证，

又，∴，∴只要证，

即证，即证.

设直线的方程为，则，由，解得.

由可得，，∴，，

∴，得证；

综上，.

21．（1）解：的定义域为，.

①当时，，所以在上单调递增，故至多有一个零点，不符合题意；

②当时，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以

（i）若，则，故至多有一个零点，不符合题意；

（ii）若，则，，

由（i）知，∴，

∴，.

又∵，，故存在两个零点，分别在，内.

综上，实数的取值范围为.

（2）证明：由题意得，令，

两式相除得，变形得.

欲证，即证，即证.

记，，故在上单调递减，

从而，即，所以得证.

方法2：由题意得：

由（1）可知，，令，则，则，两式相除得，，，

欲证，即证，即证.

记，，

令，，故在上单调递减，则，

即，∴在上单调递减，从面，

∴得证，即得证.

22．（1）∵ρ＝2cosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为∴（x﹣1）2+y2＝1，

∵α是曲线C1：的参数，∴C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝t2，

∵C1与C2有且只有一个公共点，∴|t|1或|t|1，

∴C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝（）2或x2+（y﹣1）2＝（）2

（2）∵t是曲线C1：的参数，∴C1是过点A（0，1）的一条直线，

设与点P，Q相对应的参数分别是t1，t2，把，代入（x﹣1）2+y2＝1得t2+2（sinα﹣cosα）t+1＝0，∴

∴|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝2|sin（α）|≤2，

当α时，△＝4（sinα﹣cosα）2﹣4＝4＞0，

取最大值2.

23．（1）不等式，即.

当时，即，得；

当时，即，得；

当时，即，无解.

综上，原不等式的解集为.

（2） .

令

结合函数的图象易知：当时，.

要使不等式恒成立，只需，即，故所求实数的取值范围是.