初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定测试题

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2023年北师大版数学八年级下册《平行四边形性质与判定》解答题专项练习1.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F.(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)如图，若∠1＝65°，求∠B的大小.      2.如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE; (2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．         3.如图，已知点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，连接BC，BF，CE.求证：四边形BCEF是平行四边形.     4.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．(1)试说明：AB＝CF；(2)连接DE，若AD＝2AB.试说明：DE⊥AF．             5.如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．        6.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF.求证：四边形ADCF是平行四边形．          7.如图，已知在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．求证：(1)△ACD≌△CBF；(2)四边形CDEF为平行四边形．      8.如图，在△ABC 中，AB＝AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点 .(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母 ( 保留作图痕迹，不写作法 ).① 作∠DAC的平分线 AM ； ② 连接 BE并延长交 AM于点 F ； ③ 连接 FC.(2) 猜想与证明：猜想四边形 ABCF 的形状，并说明理由 .     9.如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长.      10.已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．(1)如图①，当AC⊥DE，且 AD＝2时，求线段BC的长度；(2)如图②，当CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF＝EG.         11.如图1，在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．(1)求点B的坐标； (2)求证：四边形ABCE是平行四边形； (3)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．       12.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.(1)试说明AC＝EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．      13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF.(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；(2)若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求CD的长.         14.在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF.(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长.        15.在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC．(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．(3)若AC＝6，DE＝4，则DF＝      ．     16.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧.点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连结PE，设点P的运动时间为t秒.(1)若PE⊥BC，求BQ的长；(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.     
答案1.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠1＝∠ECB.∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠ECB，∴∠AFB＝∠1.在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE(AAS)；(2)解：由(1)得∠1＝∠ECB.∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，∴∠1＝∠DCE＝65°，∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50°.2.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠D＝∠ECF，在Rt△ADE和Rt△FCE中，∴△ADE≌△FCE(ASA)；(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC，∵AD＝BC，AB＝2BC，∴AB＝FB，∴∠BAF＝∠F＝36°，∴∠B＝180°－2×36°＝108°.3.证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形.4.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABE＝∠FCE，∵E为BC中点，∴BE＝CE，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE(ASA)，∴AB＝FC；(2)∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD，∴AD＝DF，∵△ABE≌△FCE，∴AE＝EF，∴DE⊥AF．5.解：四边形ADEF为平行四边形．证明如下：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE∥BF，DE＝AB.∵AF＝AB，∴DE＝AF，∵DE//AF∴四边形ADEF是平行四边形．6.证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD．  在△AEF和△DEB中∵，∴△AEF≌△DEB(AAS)． ∴AF＝BD． ∴AF＝DC．又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形．7.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°．又∵CD＝BF，∴△ACD≌△CBF．(2)∵△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∠CAD＝∠BCF．∵△AED为等边三角形，∴∠ADE＝60°，且AD＝DE．∴FC＝DE．∵∠EDB＋60°＝∠BDA＝∠CAD＋∠ACD＝∠BCF＋60°，∴∠EDB＝∠BCF．∴ED∥FC．∵ED//FC，ED＝FC，∴四边形CDEF为平行四边形.8.解：( 1 )如图所示： (2)四边形 ABCF 是平行四边形.理由如下： ∵ AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB.∴∠DAC＝∠ABC ＋∠ACB＝2∠ACB.由作图可知∠DAC＝2∠FAC， ∴∠ACB＝∠FAC.∴ AF∥BC.∵ 点 E 是 AC 的中点， ∴ AE＝CE.在△AEF 和△CEB 中 ，∠FAE＝∠ECB， AE＝CE，∠AEF＝∠CEB， ∴△AEF ≌△CEB ( ASA )， ∴ AF＝BC.又 ∵ AF∥BC， ∴ 四边形 ABCF 是平行四边形.9.证明：(1)∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，∴AE∥BD，∵∠ADE＝∠BAD，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)解：∵DA平分∠BDE，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD＝5，设BF＝x，则52﹣x2＝62﹣(5﹣x)2，解得，x＝1.4，∴AF＝4.8，∴AC＝2AF＝9.6.10.解：(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AC⊥DE，AD＝2，∴BC＝AC，DE＝AD＝2，DF＝DE＝1，AF＝CF，∴AF＝＝，∴AC＝2AF＝2，∴BC＝2；(2)证明：连接CE，FG，如图所示：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上．∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠AED＝60°，∴∠ADB＝120°，∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∴∠CED＝∠AEC－∠AED＝60°，∵CD⊥BE，∴∠DCE＝30°，∴DE＝CE，∵线段BC的中点为F，线段DC的中点为G，∴FG∥BD，FG＝BD，∴FG∥DE，FG＝DE，∴四边形DFGE是平行四边形，∴DF＝EG.11.解：(1)∵在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8，∴OA＝4，AB＝4.∴点B的坐标为(4，4).(2)∵∠OAB＝90º，∴AB⊥x轴，∴AB∥EC.又∵△OBC是等边三角形，∴OC＝OB＝8.又∵D是OB的中点，即AD是Rt△OAB斜边上的中线，∴AD＝OD，∴∠OAD＝∠AOD＝30º，∴OE＝4.∴EC＝OC－OE＝4.∴AB＝EC.∴四边形ABCE是平行四边形.(3)设OG＝x，则由折叠对称的性质，得GA＝GC＝8－x. 在Rt△OAG中，由勾股定理，得GA2=OA2+OG2，即，解得，x＝1.∴OG的长为1.12.解：(1)∵△AEB是等边三角形，EF⊥AB，∴∠AEF＝∠AEB＝30°＝∠BAC，AE＝AB，∠EFA＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠EFA＝∠ACB.∴△AEF≌△BAC(AAS)，∴AC＝EF；(2)证明：∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60°.由(1)的结论得AC＝EF，∴AD＝EF.又∵∠BAC＝30°，∴∠FAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.又∵∠EFA＝90°，∴EF∥AD，又∵EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形13.证明：(1)∵点E为CD中点，∴CE＝DE.∵EF＝BE，∴四边形DBCF是平行四边形.(2)∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC.∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°.在Rt△FCG中，CF＝6，∴FG＝CF＝3，CG＝3.∵DF＝BC＝4，∴DG＝1.在Rt△DCG中，CD＝2.14.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，AD＝BC，∠A＝∠C，AE＝CF.∴△DAE≌△BCF(SAS)，∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；(2)∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2＋DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝4.15.证明：(1)∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF＝DE，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDB＝∠B∴DF＝BF∴DE＋DF＝AB＝AC； (2)图②中：AC＋DE＝DF．图③中：AC＋DF＝DE． (3)当如图①的情况，DF＝AC﹣DE＝6﹣4＝2；当如图②的情况，DF＝AC＋DE＝6＋4＝10． 16.证明：(1)作AM⊥BC于M，如图所示：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5，∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°，∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，∴5﹣t＝2t﹣2，解得：t＝，BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝ ；(2)存在，t＝4；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，∴t＝10﹣2t＋2，解得：t＝4，∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4.