第七章 章末综合测试2

课时跟踪检测（十四）  万有引力定律与航天

组—重基础·体现综合

1．(2020·天津等级考)北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星(　　)

A．周期大　　　　　　　 B．线速度大

C．角速度大   D．加速度大

解析：选A　近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得G＝m，解得线速度v＝，因为地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，故B错误；由万有引力提供向心力，可得G＝mr2，解得周期T＝2π，因此地球静止轨道卫星的周期较大，故A正确；由ω＝，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，故C错误；由万有引力提供向心力，可得G＝ma，解得加速度a＝G，因此地球静止轨道卫星的加速度较小，故D错误。

2．如图1所示，在同一轨道平面内的两颗人造地球卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，周期分别为TA、TB。某时刻A、B和地球恰好在同一条直线上，从此时刻开始到A、B和地球再次共线的时间间隔为t，下列说法中正确的是                                                  (　　)

图1

A．A、B卫星的线速度vA<vB

B．A、B卫星的向心加速度aA<aB

C．t一定大于TA

D．t一定大于

解析：选D　设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球的质量为M，根据万有引力提供向心力，得G＝m＝ma，可得v＝　，a＝。由v＝　知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以有vA＞vB，故A错误；由a＝知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，所以有aA＞aB，故B错误；由几何关系可知，从图中位置开始至A、B和地球再次共线，A比B多转过的角度为nπ(n＝1,2,3，…)，则有·t－·t＝nπ(n＝1,2,3，…)，可得t＝(n＝1,2,3，…)，即t一定大于，故C错误，D正确。

3．(多选)2020年6月23日，第55颗北斗导航卫星成功发射，即北斗三号最后一颗全球组网卫星，北斗三号的全球星座部署正式完成。北斗卫星导航系统由不同轨道卫星组成，其中北斗­IGSO3卫星的运行轨道为倾斜地球同步轨道，倾角为55.9°，高度约为3.59万千米；北斗­M3卫星运行轨道为中远地球轨道，倾角为55.3°，高度约为2.16万千米。已知地球半径约为6 400千米，两颗卫星的运行轨道均可视为圆轨道，则下列说法中正确的是                                                               (　　)

A．北斗­IGSO3卫星的线速度大于北斗­M3卫星的线速度

B．北斗­IGSO3卫星的周期大于北斗­M3卫星的周期

C．北斗­IGSO3卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24 h

D．北斗­IGSO3卫星与地面上的北京市的距离恒定

解析：选BC　根据G＝m＝mr，可知v＝ ，T＝2π　，因北斗­IGSO3卫星的轨道半径大于北斗­M3卫星的轨道半径，所以北斗­IGSO3卫星的线速度小于 北斗­M3卫星的线速度，北斗­IGSO3卫星的周期大于北斗­M3卫星的周期，故A错误，B正确；北斗­IGSO3卫星运行轨道为倾斜地球同步轨道，可知其周期为24 h，可以在每天的同一时刻经过地球上某点的上空，则卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24 h，但是不能定点在北京市的上空，故C正确，D错误。

4．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c＝3×108 m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为                                                    (　　)

A．108 m/s2   B．1010 m/s2

C．1012 m/s2   D．1014 m/s2

解析：选C　黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有＝mg，又有＝，联立解得g＝，代入数据得黑洞表面重力加速度约为1012 m/s2，故C正确。

5．有研究表明：300年后人类产生的垃圾将会覆盖地球1米厚。有人提出了“将人类产生的垃圾分批转移到无人居住的月球上”的设想，假如不考虑其他星体的影响，且月球仍沿着原来的轨道绕地球做匀速圆周运动，运用你所学物理知识，分析垃圾转移前后，下列说法中正确的是                                                              (　　)

A．地球与月球间的万有引力会逐渐减小

B．月球绕地球运行的线速度将会逐渐变小

C．月球绕地球运行的向心加速度将会逐渐变大

D．月球绕地球运行的周期将变小

解析：选B　月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出线速度、周期和万有引力的表达式进行分析。设地球质量为M，月球质量为m，地球与月球间的万有引力F＝G，由于M>m，M减小、m增加、M＋m固定，故Mm会增加，地球与月球间的万有引力会逐渐增加，直到两者质量相等为止，故A错误；万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有G＝m＝mr＝ma，解得T＝2π ，v＝，a＝，由于M减小，故月球的运行速度减小，向心加速度减小，周期将会增大，故B正确，C、D错误。

6．如图2为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意    图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则                     (　　)

A．A的质量一定大于B的质量

B．A的线速度一定大于B的线速度        图2

C．L一定，M越大，T越大

D．M一定，L越小，T越大

解析：选B　双星系统中两星间距不变，角速度相等，根据v＝rω，因为rB<rA，所以vA>vB，故B正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故mArAω2＝mBrB ω2，因为rB<rA，所以mB>mA，即B的质量一定大于A的质量，故A错误；根据牛顿第二定律得G＝mArA＝mBrB，其中rA＋rB＝L，联立解得T＝2π ＝2π ，故L一定，M越大，T越小，M一定，L越小，T越小，故C、D错误。

7．(多选)(2020·江苏高考)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有                                                                           (　　)

A．由v＝可知，甲的速度是乙的 倍

B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍

C．由F＝可知，甲的向心力是乙的

D．由＝k可知，甲的周期是乙的2 倍

解析：选CD　两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由＝，可得v＝ ，则乙的速度是甲的倍，故A错误；由ma＝，可得a＝，则乙的向心加速度是甲的4倍，故B错误，由F＝，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2 倍，故D正确。

8．(多选)某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中                                                     (　　)

A．双星做圆周运动的角速度不断减小

B．双星做圆周运动的角速度不断增大

C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小

D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大

解析：选AD　设质量较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，质量较大的星体质量为m2，轨道半径为r2。双星间的距离为L，则L＝r1＋r2，转移的质量为Δm。

根据万有引力提供向心力，对m1：

G＝(m1＋Δm)ω2r1①

对m2：G＝(m2－Δm)ω2r2②

由①②得ω＝ ，总质量m1＋m2不变，两者距离L增大，则角速度ω变小，故A正确，B错误。

由②式可得r2＝，把ω的值代入得

r2＝＝L，

因为L增大，所以r2增大，即质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大，故C错误，D正确。

9．半径R＝4 500 km的某星球上有一倾角为30°的固定斜面，一质量为1 kg的小物块在力F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F始终与斜面平行。如果物块和斜面间的动摩擦因数μ＝，力F随时间变化的规律如图3所示(取沿斜面向上方向为正)，2 s末物块速度恰好又为0。引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。试问：

图3

(1)该星球的质量大约是多少？

(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？(计算结果保留两位有效数字)

解析：(1)设星球表面的重力加速度为g。小物块在力F1＝20 N作用过程中：

F1－mgsin θ－μmgcos θ＝ma1，

1 s末速度为v＝a1t1，

小物块在力F2＝4 N作用过程中：

F2＋mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，

且有 v＝a2t2，

联立以上四式，解得 g＝8 m/s2，

由G＝mg，

得 M＝＝ kg≈2.4×1024 kg。

(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回该星球，抛出物体的最小速度为v′，必须满足mg＝m，

得v′＝＝ m/s＝6×103 m/s，

＝6.0 km/s。

答案：(1)2.4×1024 kg　(2)6.0 km/s

组—重应用·体现创新

10．“双星系统”是由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度

 远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图4所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是(　　)        图4

 A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2

 B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2

 C．m1做圆周运动的半径为L

 D．m2做圆周运动的半径为L

解析：选C　设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m1r1ω2＝m2r2ω2。

又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2，

可解得r1＝L，r2＝L。

m1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，

故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3。综上所述，选项C正确。

11．我国已掌握“高速半弹道跳跃式再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地返回任务奠定基础。如图5虚线为大气层边界，返回器与服务舱分离后，从a点无动力滑入大气层，然后从c点“跳”出，再从e点“跃”入，实现多次减速，可避免损坏返回器。d点为轨迹的最高点，离地心的距离为r，返回器在d点时的速度大小为v，地球质量为M，引力常量为G。则返回器                                                            (　　 )

图5

A．在b点处于失重状态

B．在a、c、e点时的速率相等

C．在d点时的加速度大小为

D．在d点时的速度大小v＞

解析：选C　由题意知，返回器在b点处于超重状态，故A错误；从a到e通过大气层，除了受到万有引力作用，还有空气的阻力作用，因此在a、c、e三点时的速率不等，故B错误；在d点受万有引力F＝＝ma，加速度a＝，故C正确；在d点，v＜ ，故D错误。

12．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系

图6

统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX­3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图6所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的线速度v和运行周期T。                                                       

(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；

 (2)求暗星B的质量m2与可见星A的线速度v、运行周期T和质量m1之间的关系式。

解析：(1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，

由题意知A、B做匀速圆周运动的角速度相同，

设为ω。根据牛顿第二定律，

有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，

又FA＝FB，

设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2，

由以上各式得r＝r1①

根据万有引力定律，

有FA＝G，

将①代入上式得FA＝G，

令FA＝G，

可得m′＝。②

(2)根据牛顿第二定律，

有G＝m1③

可见星A的轨道半径r1＝④

由②③④式解得＝。⑤

答案：(1)

(2)＝