高中2.3 二次函数与一元二次方程、不等式备课ppt课件

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这是一份高中2.3 二次函数与一元二次方程、不等式备课ppt课件，共44页。PPT课件主要包含了目标认知，实数x，图2-3-1等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次不等式的定义:一般地,我们把只含有　　　　未知数,并且未知数的最高次数是　　　的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是　　　　　　　　　　　　,其中a,b,c均为常数,a≠0. 2.一元二次不等式的解集:使一元二次不等式成立的未知数的值叫作一元二次不等式的解,所有的解所组成的集合叫作一元二次不等式的解集.
知识点一　一元二次不等式
ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0
知识点二　二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的　　　　叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点.
【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知a,b,c均为常数,则(a2+1)x2+bx+c>0是关于x的一元二次不等式.(　　)(2)不等式mx2+2x-3<0是关于x的一元二次不等式.(　　)
[解析]因为a2+1>0,所以该不等式是一元二次不等式.
[解析]当m=0时,原不等式为2x-3<0,所以m2x+2x-3<0不是关于x的一元二次不等式.
(3)不等式x2-2x+3>0的解集为R.(　　)(4)不等式x2-2x+1≤0的解集是{1}.(　　)(5)二次函数y=x2-x-6的零点为(-2,0)与(3,0).(　　)
[解析]因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式x2-2x+3>0的解集是R.
[解析]因为x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以不等式x2-2x+1≤0的解集是{1}.
[解析]令x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,所以二次函数y=x2-x-6的零点为-2,3.
知识点三　二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系
{x|xx2}
{x|x1【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=x2-x-2的图像与x轴有两个不同交点.(　　)(2)关于x的方程x2-2ax+(a2+1)=0恒有两个不相等的实数根.(　　)
[解析]由Δ=(-1)2-4×1×(-2)=9>0,知函数y=x2-x-2的图像与x轴有两个不同交点.
[解析]由(-2a)2-4(a2+1)=-4<0,知方程x2-2ax+(a2+1)=0没有实数根.
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x10的解集为R.(　　)
[解析]当a>0时,解集为{x|x1x2}.
[解析]若一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀.
1.对一元二次不等式概念的理解一元二次不等式概念中的关键词:一元,即只包含一个未知数,其他元素均为常数;二次,即未知数的最高次数必须为2,且最高次项的系数不能为0.2.关于一元二次不等式的解法(1)在解一元二次不等式时,需求所对应的一元二次方程的根,可借用求根公式法或十字相乘法,再结合对应的二次函数的图像写出解集.
(2)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤①化标准:通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.②判别式:对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.③求实根:求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.④画草图:根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.⑤写解集:根据图像写出不等式的解集.
3.二次函数与二次方程、二次不等式的关系二次方程与二次不等式都是二次函数的特例,当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时,得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0);当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y>0或y<0时,得一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0);而y=0是y>0与y<0的“分水岭”,它们之间形成不可分割的内在关系.
[探索] 函数y=x2-x-6的图像如图2-3-1所示,根据图像,你能说出方程x2-x-6=0的解吗?你能说出不等式x2-x-6>0的解集吗?x2-x-6<0的解集呢?
探究点一　解一元二次不等式
解:方程x2-x-6=0的解是x=-2或x=3;不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2或x>3};不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2例1 求下列不等式的解集.(1)x2-5x-6>0;(2)(2-x)(x+3)<0;(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).
(2)[2021·黑龙江大庆中学高一月考] 不等式x2-x-2<0成立的一个充分不必要条件是a(3)不等式组-2{x|-2≤x<1或2[素养小结]解一元二次不等式的方法(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,则不等式的解集易得.
(3)若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式解集的通法,即判别式法.其步骤为:①把一元二次不等式化为基本形式(二次项系数为正,右边为0);②计算Δ=b2-4ac,以确定一元二次方程ax2+bx+c=0是否有解;③有根求根;④根据图像写出不等式的解集.
例2 解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R).
探究点二　解含参数的一元二次不等式
变式解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).
解:原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0,对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.①当2a>-a,即a>0时,不等式的解集为{x|-a0时,原不等式的解集为{x|-a[素养小结]含参一元二次不等式的解法
探究点三　三个“二次”的关系
例3 已知不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3例3 已知不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3解: 由(1)知a=3,故原不等式变为(x-3)(x+b)≤0.若-b<3,即b>-3,则不等式的解为-b≤x≤3;若-b=3,即b=-3,则不等式的解为x=3;若-b>3,即b<-3,则不等式的解为3≤x≤-b.综上,当b>-3时,不等式的解集为{x|-b≤x≤3};当b=-3时,不等式的解集为{3};当b<-3时,不等式的解集为{x|3≤x≤-b}.
[素养小结]三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式时要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图像及性质来解决问题.
拓展设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1,x2.(1)求(1+x1)(1+x2)的值;
拓展设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1,x2.(2)求证:x1<-1且x2<-1.
1.解一元二次不等式常利用数形结合,设相应的二次函数的图像开口向上,并与x轴相交,则有口诀:大于取两边;小于取中间.
例1 [2021·安徽芜湖一中高一月考] 不等式(x+3)2<1的解集是(　　)A.{x|x>-2} B.{x|x<-4}C.{x|-4[解析] 因为(x+3)2<1,所以-12.解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论.讨论一般分为三个层次,第一层次是二次项系数为零和不为零;第二层次是有没有实数根的讨论,即判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0;第三层次是根的大小的讨论.
例2 解关于x的不等式x2-3ax-18a2>0.
解:将x2-3ax-18a2>0变形得(x-6a)(x+3a)>0,方程(x-6a)(x+3a)=0的两根为6a,-3a,所以当a>0时,6a>-3a,原不等式的解集为{x|x<-3a或x>6a};当a=0时,6a=-3a=0,原不等式的解集为{x|x≠0};当a<0时,6a<-3a,原不等式的解集为{x|x<6a或x>-3a}.
3.由一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)(a>0)的解集为{x|xx2}(或{x|x11.[2021·北京首都师大附中高一月考] 不等式x2≥2x的解集是(　　)A.{x|x≥2} B.{x|x≤2} C.{x|0≤x≤2} D.{x|x≤0或x≥2}
[解析] 由x2≥2x得x(x-2)≥0,所以x≤0或x≥2.故选D.
2.设集合A={x|x2-2x-8<0},B={x||x-2|<3},则A∩B=(　　)A.{x|-2[解析] x2-2x-8<0⇔(x+2)(x-4)<0,解得-2

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