数学必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念教案配套课件ppt

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三角学的英文名称Trignmetry约定名于公元1600年,实际来源于希腊文trign(三角)和metrein(测量),其原义为三角形测量(解法),以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础,达到测量上的应用为目的的一门学科.早期的三角学是天文学的一部分,后来研究范围逐渐扩大,变成以三角函数为主要对象的学科.现在,三角学的研究范围已不仅限于三角形,且为数理分析之基础,研究实用科学所必需之工具.
知识点一　三角函数的定义
1.如图5-2-1所示,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).(1)点P的纵坐标　　　　叫作α的正弦函数,记作　　　　,即　　　　;  (2)点P的横坐标　　　　叫作α的余弦函数,记作　　　　,即　 　　　;  (3)点P的纵坐标与横坐标的比值　　　　叫作α的正切,记作　　　　,即　　　 　　　. 
2.当α=　　　 　　　 时, α的终边在y轴上,这时　 　　　无意义.除此之外,对于确定的角α,sin α,cs α,tan α都是　 　　　.所以,正弦、余弦、正切函数都是以　　　　为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的　　　　为函数值的函数,我们将它们统称为　 　　　　. 
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)sin α,cs α,tan α的大小与点P(x,y)在角α的终边上的位置有关.(　　)(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(　　)(3)正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域都是R.(　　)
知识点二　三角函数值在各象限的符号
1.图示:图5-2-2图5-2-3图5-2-42.口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
[解析] (4)∵α是第四象限角,∴sin α<0,cs α>0,∴m<0.
终边相同的角的同一三角函数的值　　　　,即 sin(α+k·2π)=　　　　,cs(α+k·2π)=　　　　, tan(α+k·2π)=　　　　,其中k∈Z. 
[解析] (1)sin 365.1°=sin(360°+5.1°)=sin 5.1°=m.
1.对三角函数概念的理解应注意的问题(1)三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置确定,即三角函数值的大小只与角有关.(2)sin α,cs α,tan α分别是一个整体,离开“α”,“sin”“cs”“tan”不表示任何意义,更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积.(3)在任意角的三角函数的定义中,α是一个任意角,其范围是使函数有意义的实数集.
2.公式一的实质与作用(1)公式一的实质:公式一的实质是终边相同的角,其同名三角函数值相等.因为这些角的终边是同一条射线,所以根据三角函数的定义可知,这些角的同名三角函数值相等.(2)公式一的作用:利用公式一可以把任意角的三角函数值化为0°~360°范围内与其终边相同的角的三角函数值(方法是先在0°~360°的范围内找出与所给角终边相同的角,再把它写成公式一的形式,最后得出结果).
探究点一　求任意角的三角函数值
变式 (1)若角α的终边在直线y=2x上,求sin α,cs α,tan α.
探究点二　判断三角函数值的符号
例2 (1)(多选题)下列选项中,符号为负的是(　 　)A.sin(-100°)B.cs(-220°)C.tan 10D.cs π
(2)已知点P(sin α,cs α)在第三象限,则角α的终边在(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)若三角形的两内角α,β满足sin αcs β<0,则此三角形必为(　　)A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能
[解析] (2)∵sin αcs β<0,α,β∈(0,π),∴sin α>0,cs β<0,∴β是钝角,故选B.
(3)已知角α的终边过点(3a-9,a+2)且cs α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是　　 　　. 
[素养小结]判断三角函数值在各象限的符号的攻略:(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限;(2)关键:准确记忆三角函数值在各象限的符号;(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度,导致象限判断错误.
探究点三　公式一的应用
[探索] 公式一的等号的左、右两边为同名三角函数,等号左边的角的形式为α+2kπ(k∈Z),右边的角为α,即终边相同的角的同名三角函数值　　　　. 
[素养小结]利用公式一进行化简求值的步骤:(1)定形:将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z.(2)转化:根据公式一,转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值(需熟记特殊角的三角函数值).
2.三角函数值符号的判断准确确定三角函数中角的终边所在的象限是基础,熟记三角函数值在各象限内的符号并牢记记忆口诀是解决这类问题的关键.
例2 若sin α=2cs α,判断sin α·tan α的符号.
解:∵sin α=2cs α,∴sin α与cs α同号,∴α是第一或第三象限角.当α是第一象限角时,sin α>0,tan α>0,∴sin α·tan α>0.当α是第三象限角时,tan α>0,sin α<0,∴sin α·tan α<0.
3.利用公式一求三角函数值(1)解此类问题的方法是先借助于公式一把已知角化到[0,2π)范围内,然后再求三角函数值.(2)要熟记特殊角的三角函数值,这是解题的基础.
2.(多选题)若sin θ·cs θ>0,则θ是( 　　)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
[解析] 因为sin θ·cs θ>0,所以sin θ<0,cs θ<0或sin θ>0,cs θ>0,所以θ是第一象限角或第三象限角.
4.已知sin2α=1,那么角α的终边(　　)A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上 D.在直线y=x或y=-x上
[解析] 由题意知sin α=1或sin α=-1,故角α的终边在y轴上.
5.若角α的终边过点P(2sin 30°,-2cs 30°),则sin α=　　　　.