人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质多媒体教学课件ppt

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知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
[2kπ-π,2kπ]
[2kπ,2kπ+π]
1.三角函数单调区间的求法(1)求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的单调区间,一般将ωx+φ视作整体,结合y=sin x或y=cs x的单调区间列出不等式,解之即得.(2)当ω<0时,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)变形为y=-Asin(-ωx-φ),y=Acs(ωx+φ)(A>0,ω≠0)变形为y=Acs(-ωx-φ),再求函数的单调区间.所有的这些变形都是为了使x的系数为正值.同时要注意A<0时函数单调性的变化.
2.三角函数的值域问题(1)y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acs(ωx+φ)+B(A≠0,ω≠0)型的函数值域问题的解决方法是利用三角函数在区间上的单调性.(2)与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数的区间最值.一般先进行换元再配方可得解.
探究点一　三角函数的单调性及应用
角度一　比较三角函数值的大小
[解析] (3)cs 870°=cs(720°+150°)=cs 150°,sin 980°=sin(720°+260°)=sin 260°=sin(90°+170°)=cs 170°,因为0°<150°<170°<180°,且y=cs x在[0°,180°]上单调递减,所以cs 150°>cs 170°,即cs 870°>sin 980°.
(3)cs 870°　　　　sin 980°; 
[素养小结]利用单调性比较三角函数值大小的步骤:①异名函数化为同名函数;②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利用函数的单调性比较大小.
角度二　求正弦型函数、余弦型函数的单调区间
[素养小结]求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的函数的单调区间的策略:(1)结合正、余弦函数的图像,熟记它们的单调区间.(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z的单调区间进而求出原函数的单调区间.求形如y=Acs(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的函数的单调区间同上.(3)用整体替换法求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)(A≠0)的单调区间时,如果式子中x的系数为负数,先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式.
(2)函数y=cs x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是　　　　. 
[解析] (2)因为y=cs x在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,所以只有当-π探究点二　三角函数的值域及最值
角度一　形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acs(ωx+φ)+b(A≠0,ω>0)的最值(值域)问题
解:不一定.当A>0时,函数的最大值为A+b;当A<0时,函数的最大值应为-A+b.
[探索] 函数y=Asin x+b(A≠0),x∈R的最大值一定是A+b吗?
[素养小结]对于形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acs(ωx+φ)+b)(A≠0,ω>0)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t(或y=cs t)的最值(值域),最后求得原函数的最值(值域).注意当A为负数时的情况.
角度二　形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的最值(值域)问题
例4 (1)函数y=2sin2x-2sin x+1的值域是　　　　. 
[素养小结]对于形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的取值范围需要根据原函数的定义域来确定.
解:(1)由题知,sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°,cs 156°=cs(180°-24°)=-cs 24°=-sin 66°,∵0°<16°<66°<90°,∴sin 16°-sin 66°,即sin 196°>cs 156°.
3.求与三角函数有关的最值(值域)问题(1)求形如y=asin x或y=acs x(a≠0)的函数的最值要注意对a进行讨论.(2)对于可化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acs(ωx+φ)+k(其中A,ω,k为常数,A≠0,ω≠0)的形式的函数,利用三角函数的性质求最值,易得其最大值为|A|+k,最小值为-|A|+k.(3)求可化为y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acs2x+Bcs x+C(A≠0)的函数的最大值、最小值,可利用二次函数在区间[-1,1]上的最大值、最小值的求法来求(换元法).
例3 (1)已知函数f(x)=acs x+b的最大值为1,最小值为-3,则函数g(x)=absin x+3的最大值为　 　.