人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质授课课件ppt

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知识点　函数奇偶性的概念
f(-x)=-f(x)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.(　　)(2)函数y=x2+1,x∈(0,+∞)是偶函数.(　　)(3)存在一个既是奇函数,也是偶函数的函数.(　　)
[解析] (1)例如f(x)=x2,存在x=0,使f(-0)=-f(0)=0,但函数f(x)=x2不是奇函数.
[解析] (2)函数的定义域不关于原点对称,因此不具备奇偶性.
[解析] (3)存在f(x)=0,x∈R既是奇函数,也是偶函数.
(4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数,就是偶函数.(　　)(5)奇函数f(x)的定义域为R,若f(-2)=3,则f(2)=-3.(　　)
[解析] (4)函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数.
[解析] (5)因为f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=3,所以 f(2)=-3.
1.判断函数奇偶性的步骤①先求定义域,看是否关于原点对称.②在定义域关于原点对称的条件下再判断f(-x)与f(x)的关系.若f(-x)=f(x),则函数f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数.
2.函数奇偶性的运算性质设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,在它们的公共定义域上,一般具有下列结论:注意:f[g(x)]中,g(x)的值域是f(x)的定义域的子集.
探究点一　函数奇偶性的判断
[探索] 奇、偶函数的定义域关于原点对称吗?为什么?
解:对称.由函数奇偶性的定义知,若x在定义域内,则-x一定也在定义域内(若-x不在定义域内,则f(-x)无意义),因此,具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称.
(3)∵函数f(x)的定义域不关于原点对称,即存在-4∈[-4,4),而4∉[-4,4),∴函数f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数,也不是偶函数.
(5)易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. ∵当x>0时,f(x)=x2+2x,∴当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2-2x=f(x);∵当x<0时,f(x)=x2-2x, ∴当x>0时,-x<0,故f(-x)=x2+2x=f(x).故对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=f(x),故函数f(x)是偶函数.
解:(1)函数f(x)的定义域为R.因为f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R.因为f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
[素养小结]1.用定义法判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.2.用图像法判断函数的奇偶性:若函数图像关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图像关于y轴对称,则函数为偶函数.
探究点二　利用函数奇偶性求参数的值
例2 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　. (2)已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=　　　　. 
变式 (1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则a的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.0D.1或0
[解析] (1)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,f(-x)=-x3+(a-1)x2-ax,∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),x∈R恒成立,即2(a-1)x2=0,x∈R恒成立,解得a=1.故选B.
(2)若函数f(x)=2x2+|x+a|为偶函数,则实数a=　　　　.
[解析] (2)由题意得f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于x∈R恒成立,两边平方并整理,得ax=0对于x∈R恒成立,故a=0.
[素养小结]1.利用奇偶性求参数的常见类型:(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解.
2.由函数的奇偶性求参数时应注意两点:(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.
判断函数的奇偶性除了定义法之外,还有分类讨论法.对于分段函数奇偶性的判断,通常利用分类讨论法进行求解.
[解析] 若x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2-(-x)+1=x2+x+1=-f(x);若x>0,则-x<0,所以f(-x)=-(-x)2-(-x)-1=-x2+x-1=-f(x).综上可知,f(x)为奇函数.
1.下列图像对应的函数中具有奇偶性的是 (　　) A B C D
[解析] 选项A中的图像不关于原点或y轴对称,故排除;选项C,D中的图像对应的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图像关于y轴对称,其对应的函数是偶函数.故选B.
3.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)(　　)A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.是非奇非偶函数
[解析] F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),又x∈(-a,a),所以F(x)是偶函数.
4.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是(　　)A.1 B.2C.3 D.4
[解析] 由已知得f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.