高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件背景图课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件背景图课件ppt，共22页。PPT课件主要包含了目标认知，p⇔q，充分必要条件，充要条件，互为充要条件等内容，欢迎下载使用。

1.逆命题将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题.
知识点　充要条件的概念
2.充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作　　　　.此时,我们说p是q的　　　　　　　　,简称为　　　　　　.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q　　　　　　　　.  
【诊断分析】 判断正误.(请在括号内打“√”或“×”)(1)已知p:x>0且y>0,q:xy<0,则p是q的既不充分也不必要条件.(　　)(2)已知p:x=0且y=0,q:x2+y2=0,则p是q的充要条件.(　　)
[解析]因为x>0且y>0⇒/ xy<0且xy<0⇒/ x>0且y>0,所以p是q的既不充分也不必要条件.
[解析]因为x=0且y=0⇒x2+y2=0,x2+y2=0⇒x=0且y=0,所以p是q的充要条件.
对充要条件的理解:利用集合间的包含关系判断.设A={x|p(x)},B={x|q(x)}:若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若B⊆A,则p是q的必要条件或q是p的充分条件;若A⊆B且B⊆A,即A=B,则p是q的充要条件.1.从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若p⇔q,则p是q的充要条件.(3)若p⇒q,但q⇒/ p,则称p是q的充分不必要条件.(4)若p⇒/ q,但q⇒p,则称p是q的必要不充分条件.(5)若p⇒/ q,且q⇒/ p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
2.从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)}.(1)若A⊆B,则p是q的充分条件.(2)若B⊆A,则p是q的必要条件.(3)若A=B,则p是q的充要条件.(4)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件.(5)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件.(6)若A不包含于B且B不包含于A,则p是q的既不充分也不必要条件.
3.“⇔”的传递性若p是q的充要条件,q是s的充要条件,即p⇔q,q⇔s,则有p⇔s,即p是s的充要条件.
例1 下列各题中,试分别指出p是q的什么条件.(1)p:a=b,q:ac=bc;(2)在△ABC中,p:A>B,q:BC>AC;(3)p:|x|>3,q:x2>9.(4)p:A⊆B,q:A∩B=A.
探究点一　充要条件的判断
解:(1) 因为a=b⇒ac=bc,而ac=bc不能推出a=b,所以p是q的充分条件,但不是必要条件.(2) 在△ABC中,显然有A>B⇔BC>AC,所以p是q的充要条件.(3)因为|x|>3⇔x2>9,所以p是q的充要条件.(4) 因为A⊆B⇒A∩B=A且A∩B=A⇒A⊆B,所以p是q的充要条件.
[素养小结] 判断p是q的充要条件的两种思路:(1)命题角度:判断p是q的充要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p是否成立.若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.(2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p⇒q及q⇒p是否成立时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.此外,对于较复杂的关系,常用⇒,⇐,⇔等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度.
例2 [2021·广东中山纪念中学高一月考] 已知ab≠0,求证:a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件.(注:a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab))
探究点二　充要条件的证明与应用
证明:①充分性:∵a+b=1,∴b=1-a,∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,即a3+b3+ab-a2-b2=0.②必要性:∵a3+b3+ab-a2-b2=0,∴(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,∴(a2-ab+b2)(a+b-1)=0.∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,∴a2-ab+b2≠0,∴a+b-1=0,∴a+b=1.综上可知,当ab≠0时,a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件.
变式 已知m>0,集合A={x|-2≤x≤6},B={x|1-m≤x≤1+m},请在①充分条件,②必要条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题(2)中,若问题(2)中的实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.(1)若A∪B=A,求实数m的取值范围.
(2)若x∈A是x∈B的　　　,判断实数m是否存在? 
[素养小结]证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明,首先分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,即充分性需要证明“条件”⇒“结论”,必要性需要证明“结论”⇒“条件”.
充要条件的证明与探求:(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明,在证明时要注意两种叙述方式的区别.①p是q的充要条件,则p⇒q证的是充分性,q⇒p证的是必要性;②p的充要条件是q,则p⇒q证的是必要性,q⇒p证的是充分性.(2)探求充要条件,也可先证出必要性,再证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.
例 [2021·山东滨州期末] 已知:①充分不必要;②必要不充分;③充要.请从中选择一个补充到下面的问题中.已知集合P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x≤1+m},x∈P是x∈S的　　　条件. 若存在实数m,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
例 [2021·山东滨州期末] 已知:①充分不必要;②必要不充分;③充要.请从中选择一个补充到下面的问题中.已知集合P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x≤1+m},x∈P是x∈S的　　条件. 若存在实数m,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
1.[2021·黑龙江实验中学高一月考] “x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的(　　)A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[解析] 由x2+(y-2)2=0,得x=0且y=2,∴x(y-2)=0.反之,由x(y-2)=0,得x=0或y=2,x2+(y-2)2=0不一定成立.故“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的充分不必要条件,故选B.
2.已知A,B是非空集合,命题p:A∪B=B,命题q:A⫋B,则p是q的(　　)A.充要条件B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件
[解析] 由A∪B=B,得A⊆B;反之,由A⫋B,得A∪B=B.所以p是q的必要不充分条件,故选D.
3.在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,且a≤b≤c,则“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] a2+b2=c2⇔ △ ABC为直角三角形,故选C.
4.[2021·江苏南通如皋中学高一月考] 已知p:4x-m<0,q:-2≤x≤2,若p是q的一个必要不充分条件,则m的取值范围为(　　)A.m≥8 B.m>8C.m>-4 D.m≥-4