数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词学案及答案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

1.5　全称量词与存在量词

1.5.1　全称量词与存在量词

【课前预习】

知识点一

1.∀　全称量词命题

2.∀x∈M,p(x)

诊断分析

(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (1)是无理数,但()2=3是有理数.(1)错误.

(2)“所有质数都是奇数”才是全称量词命题.(2)错误.

(3)“三角形的内角和等于180°”即“所有的三角形的内角和都等于180°”,是全称量词命题.

(4)对任意x∈R,x2≥0恒成立,则x2+1≥1,因此“∀x∈R,x2+1≥1”是真命题.

知识点二

1.∃　存在量词命题

2.∃x∈M,p(x)

诊断分析

(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (1)“至少有一个三角形没有外接圆”有存在量词,所以是存在量词命题.

(2)“在一个平面内,存在两条相交直线垂直于同一条直线”有存在量词,所以是存在量词命题.

(3)“有些三角形的三个内角相等”有存在量词,所以是存在量词命题.

(4)因为偶数2是质数,所以“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题.

【课中探究】

探究点一

例1　解:(1)命题的完整表述应为“所有凸多边形的外角和都等于360°”,故为全称量词命题.

(2)含有存在量词“有的”,故是存在量词命题.

(3)含有全称量词“任意”,故是全称量词命题.

(4)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.

变式　解:(1)全称量词命题,∀x∈R,x·(-1)=-x.

(2)存在量词命题,∃x∈R,x2+2x+8=0.

(3)全称量词命题,∀x∈R,x2≥0.

(4)存在量词命题,∃x∈{x|x是三角形},x至少有两个锐角.

探究点二

例2　解:(1)真命题.因为x2-x+1=x-2+≥,所以“∀x∈R, x2-x+1≥”是真命题.

(2)真命题,平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应.

(3)真命题,2是素数, 也是偶数.

(4)假命题.因为方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,所以该方程无实数根.

变式　A　[解析] 对于A,所有菱形的四条边都相等,是全称量词命题,也是真命题.对于B,∃x∈N,2x为偶数,是存在量词命题.对于C,∀x∈R,x2+2x+1>0,是全称量词命题,但它是假命题.对于D,π是无理数,不是全称量词命题.故选A.

探究点三

例3　(1)B　(2)a≥12　[解析] (1)因为p是真命题,所以方程x2+4x+a=0有实数根,即Δ=16-4a≥0,即a≤4.故选B.

(2)由已知得{x|0<2x-3<5}=x<x<4,若“∀x∈{x|0<2x-3<5},一次函数y=3x-a的图像都在x轴的下方”为真命题,则当<x<4时,y=3x-a<0恒成立,所以3×4-a≤0,即a≥12,所以实数a的取值范围是a≥12.

变式　解:因为“∀x∈R,x2-2ax+2≥a-a2”是真命题,

所以a-a2小于或等于y=x2-2ax+2的最小值,

因为y=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,

所以当x=a时,y=x2-2ax+2取得最小值2-a2,

所以2-a2≥a-a2,得a≤2.

【课堂评价】

1.C　[解析] ①③是全称量词命题.

2.C　[解析] “存在一个数既是偶数又是负数”是存在量词命题.

3.B　[解析] 对于任意的x∈R,x2+x+1=x+2+>0恒成立,故选B.

4.存在量词命题　假

5.{2}　[解析] 因为“∀x∈R,(a-2)x+1>0”是真命题,所以a-2=0,所以a=2,故实数a的取值集合是{2}.