高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时学案设计

  2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

2.2　基本不等式

第1课时　利用基本不等式求最值

【课前预习】

知识点一

1.≤(a>0,b>0)　a=b

2.算术　几何　　不小于

诊断分析

1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab成立,当a,b都为正数时,不等式a+b≥2成立.

(2)若a>0,b>0,则3a+2b≥2(当且仅当3a=2b时,等号成立).

(3)只有当a>0时,不等式a+≥2=6才成立.

(4)当a>0,b>0时,≤(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤2.

2.解:能.要证≤,只需证2≤a+b,只需证2-a-b≤0,只需证-(-)2≤0,只需证(-)2≥0,而(-)2≥0显然成立,当且仅当a=b时等号成立.

知识点二

1.(1)大　(2)小

2.(1)正数　(2)定值　定值　(3)等号

诊断分析

(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　[解析] (1)当a,b为正实数时,若a+b为定值,则ab有最大值.

(2)当且仅当x=1时,x+才能取得最小值,但x>2,所以等号成立的条件不存在.

(3)因为当x>1时,x-1>0,所以y=x+=(x-1)++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.

(4)设x<0,y<0,x+y=s(s<0),s为定值,则(-x)+(-y)≥2=2,当且仅当x=y时,等号成立,2≤-s(-s>0),所以xy≤,所以xy有最大值.

(5)∵m2+n2≥2mn,当且仅当m=n=±5时等号成立,∴mn≤=50.

【课中探究】

探究点一

例1　(1)D　(2)AB　[解析] (1)从基本不等式成立的条件考虑.①因为a,b∈(0,+∞),所以,∈(0,+∞),符合基本不等式成立的条件,故①的推导过程正确;②因为a∈R,a≠0不符合基本不等式成立的条件,所以+a≥2=4是错误的;③由xy<0得,均为负数,但在推导过程中将+看成一个整体提出负号后,-,-均变为正数,符合基本不等式成立的条件,故③正确.故选D.

(2)对于选项A,当|x|>0时,+|x|≥6显然成立,A正确;对于选项B,符合应用基本不等式的三个基本条件“一正,二定,三相等”,B正确;对于选项C,忽视了验证等号成立的条件,即x=,则x=±1,均不满足x≥2,C错误;对于选项D,当0<x≤2时,x-有最大值2-=,D错误.故选AB.

变式　①②③　[解析] 由于a2+1-a=a-2+>0,故①恒成立;由于a+b+=ab+++≥2+2=4,当且仅当即a=b=1时,等号成立,故②恒成立;由于(a+b)+=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=1时,等号成立,故③恒成立;当a=3时,a2+9=6a,故④不恒成立.综上,填①②③.

探究点二

探索 解:可以.当x<0时,-x>0,则+x=--+(-x)≤-2=-2×2=-4,当且仅当-=-x,即x=-2时,等号成立,故+x有最大值-4.

例2　(1)D　(2)D　[解析] (1)因为0<x<2,所以y=x(4-3x)=3x-x≤3=,当且仅当-x=x,即x=时,等号成立.故选D.

(2)由x+2y=2xy,得+=1,因为x,y为正实数,所以x+y=(x+y)+=++≥+2=+,当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以x+y的最小值为+.故选D.

变式　解:(1)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0.

y=+x=+(x-3)+3=-+3-x+3,

∵+3-x≥2=4当且仅当=3-x,即x=1时取等号,

∴-+3-x≤-4,

∴y≤-4+3=-1,即y的最大值为-1.

(2)∵x+y=4,∴(x+y)=1,∴+=+(x+y)=4++,

又x,y>0,∴>0,>0,∴+≥2=2当且仅当=,即x=2-2,y=6-2时取等号,∴+≥×(4+2)=1+,

即+的最小值为1+.

【课堂评价】

1.D　[解析] 此不等式等号成立的条件为a2=,即a=±,故选D.

2.B　[解析] 因为x>0,所以x+-2≥2-2=2-2=0,当且仅当x=1时取等号.

3.C　[解析] ∵x>0,∴y=3-3x+≤3-2=3-2,当且仅当3x=,即x=时,等号成立.

4.B　[解析] 因为a,b都为正实数,2a+b=1,所以ab=≤2=,当且仅当2a=b,即a=,b=时,ab取得最大值.故选B.

5.2　[解析] 因为a,b>0且2a+b=4,所以4=2a+b≥2,即≤2,即ab≤2,当且仅当2a=b=2时,等号成立,所以ab的最大值为2.