人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时学案及答案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

4.2.2　指数函数的图像和性质

第1课时　指数函数的图像和性质

【课前预习】

知识点一

R　(0,+∞)　(0,1)　在R上是增函数　在R上是减函数　y>1　0<y<1　0<y<1　y>1　y轴

诊断分析

(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　[解析] (1)∵x∈R,∴x>0,∴y=x-1>-1,因此函数y=x-1的值域是(-1,+∞).

(2)∵底数π>1,∴函数f(x)=πx是增函数.

(3)根据指数函数的性质知指数函数f(x)的图像过点(0,1).

(4)依题意,x-2≠0,解得x≠2,∴函数的定义域为{x|x≠2}.

(5)当x>0时,2x>1;当x<0时,0<2x<1.

知识点二

1.下　上

2.由大变小

诊断分析

(1)√　(2)×　(3)×　[解析] (1)由指数函数的性质知函数y=ax与函数y=a-x的图像关于y轴对称.

(2)令f(x)= a|x|,∵f(-x)=a|-x|=a|x|=f(x),∴y=a|x|是偶函数.

(3)函数f(x)=2x+3的图像可由y=2x的图像向上平移3个单位长度得到.

【课中探究】

探究点一

例1　解:作出y=x的图像,如图所示:

(1)只需将y=x的图像向右平移1个单位长度即可得到函数y=x-1的图像,如图(1).

(2)因为y=-x与y=x的图像关于x轴对称,所以作y=x的图像关于x轴对称的图像即得y=-x的图像,如图(2).

(3)因为y=2x与y=x的图像关于y轴对称,所以作y=x的图像关于y轴对称的图像即得y=2x的图像,如图(3).

变式　(1)B　(2)D　[解析] (1)方法一:y=2|x|=故选B.

方法二:函数y=2|x|为偶函数,当x≥0时,函数的解析式为y=2x,故排除A,C,D.故选B.

(2)从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有0<a<1;从曲线位置看,是由函数y=ax(0<a<1)的图像向左平移|-b|个单位长度得到,所以-b>0,即b<0.

例2　(1)A　(2)D　(3)　　π　　[解析] (1)因为g(x)=-x+a,所以g(x)的图像为一条过第一、第二、第四象限的直线,排除C,D;对于A,g(x)的图像与y轴交点的纵坐标大于1,故a>1,此时f(x)为增函数,图像符合,故A正确;对于B,由g(x)的图像与y轴交点的纵坐标小于1知0<a<1,此时f(x)为减函数,图像不符合,故B错误.故选A.

(2)根据题意,可得y=∵0<a<1,∴y=ax(x>0)是减函数,y=-ax(x<0)是增函数,∴y=(0<a<1)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故选D.

(3)由底数变化引起指数函数图像变化的规律知,在y轴右侧,底大图高,在y轴左侧,底大图低.因为<<1<<π,所以结合图像知图像C1,C2,C3,C4对应的函数的底数依次是,,π,.

变式　(1)B　(2)A　[解析] (1)在y轴的右侧,指数函数的图像由下到上相应的底数依次增大.由题图可知c>d>1,b<a<1,所以b<a<1<d<c.故选B.

(2)观察四个选项中的图像可知,指数函数y=x在R上单调递减,则0<<1,-1<-<0,二次函数y=ax2+bx的图像与x轴的交点为(0,0),-,0,故只有选项A中图像符合条件.故选A.

拓展　(1)(-1,2)　(2)(0,1)　[解析] (1)令x+1=0,求得x=-1,此时y=2,可得函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图像恒过的定点是(-1,2).

(2)函数y=|2x-2|的图像如图(实线部分)所示.要使直线y=2a与该函数图像有两个公共点,则有0<2a<2,即0<a<1,故实数a的取值范围为(0,1).

(3)解:①由已知图像知0<<1,∴>1,∴y=的图像如图所示.

②由已知图像知0<<1,∵y=ax2+bx图像的顶点的横坐标为-=-·,∴-<-<0,∴y=ax2+bx的图像的顶点的横坐标的取值范围是-,0.

探究点二

探索 解:利用y=2x的单调性比较20.3与20.5的大小,利用中间量1比较2-0.6与0.3-1.2的大小.

例3　(1)①<　②<　③>　④<　[解析] ①1.82.2和1.83.2可以看作函数y=1.8x当x分别取2.2和3.2时所对应的两个函数值.因为底数1.8>1,所以指数函数y=1.8x是增函数,因为2.2<3.2,所以1.82.2<1.83.2.

②因为0<0.3<1,所以指数函数y=0.3x是减函数,又-0.4>-0.6,所以0.3-0.4<0.3-0.6.

③由指数函数的性质知2.10.3>2.10=1,0.93.1<0.90=1,所以2.10.3>0.93.1.

④取中间量,因为=<0=1,所以<.因为指数函数y=x是减函数,又>,所以<,所以<.

(2)解:因为-3<0,0<<1,>1,>1,0=1,

而=>,

所以-3<<0<<,所以各数从小到大排列为:,,,,.

变式　(1)C　(2)m>n　[解析] (1)因为0<0.6<1,所以指数函数y=0.6x为减函数,又0<0.6<1.5,所以1>0.60.6>0.61.5,即1>a>b,c=1.50.6>1,所以b<a<c,故选C.

(2)因为a==+1∈(1,+∞),所以函数f(x)=ax是增函数.由f(m)>f(n),得m>n.

【课堂评价】

1.B　[解析] 因为0<0.3<1,所以指数函数y=0.3x是减函数,又0.3m>0.3n,所以m<n.故选B.

2.A　[解析] 当x=0时,y=2,且函数y=2x+1单调递增,故选A.

3.A　[解析] ∵=0.<0.30.2<1<20.3,∴b>c>a.故选A.

4.D　[解析] 根据题意,由0<a<1,可知指数函数y=ax为减函数,可排除选项A,C.由-1<a-1<0,可知函数y=(a-1)x2的图像开口向下.故选D.

5.1　[解析] 令x-2=0,得x=2,此时f(2)=a0+1=2,所以f(x)的图像恒过定点(2,2),所以m=2,n=2,所以=1.