人教A版 (2019)4.3 对数学案设计

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

4.3　对数

4.3.1　对数的概念

【课前预习】

知识点一

1.以a为底N　x=logaN　底数　真数

2.常用对数　lg N　自然对数　ln N

3.x=logaN

诊断分析

1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)logaN是一个整体,表示以a为底N的对数.

(2)因为对数的底数a应满足a>0且a≠1,所以错误.

(3)log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数,所以错误.

(4)对数运算的实质是求幂指数.

2.解:(1)“三角度”理解对数式的意义:

角度一:对数式logaN可看作一种记号,只有当a>0,a≠1,且N>0时才有意义.

角度二:对数式logaN也可以看作一种运算,是在已知ab=N求b的前提下提出的.

角度三:logaN是一个数,是一种取对数的运算,结果仍是一个数,不可分开书写,也不可认为是loga与N的乘积.

(2)①若a<0,当N取某些数值时,logaN不存在,因此规定a不能小于0.

②若a=0,当N≠0时,logaN不存在,当N=0时,logaN有无数个值,因此规定a≠0.

③若a=1,当N≠1时,logaN不存在,当N=1时,logaN有无数个值,因此规定a≠1.

知识点二

1.(1)1　以a为底a的对数等于1　(2)0　以a为底1的对数等于0　(3)0和负数

2.=b

诊断分析

1.(1)×　(2)×　(3)×

2.解:设ax=N,则x=logaN,代入ax=N可得=N.

【课中探究】

探究点一

例1　(1)ACD　(2)(10,+∞)　(3)(2,3)∪(3,4)　[解析] (1)对于A,当M=N≤0时,logaM与logaN无意义,故A中说法错误;对于B,对数值相等,底数相同,因此真数相等,故B中说法正确;对于C,因为logaM2=logaN2,所以M2=N2,即|M|=|N|,但不一定有M=N,故C中说法错误;对于D,当M=N=0时,logaM2与logaN2无意义,故D中说法错误.故选ACD.

(2)由题意得x-10>0,∴x>10,∴实数x的取值范围是(10,+∞).

(3)由题意可得解得2<x<4且x≠3.

变式　解:(1)根据题意,

可得解得x>,且x≠1.

即实数x的取值范围是,1∪(1,+∞).

(2)根据题意得解得x<,且x≠0,

即实数x的取值范围是x<,且x≠0.

探究点二

例2　(1)lg 10 000=4　(2)33=27　(3)2x=12　(4)ln x=2　[解析] (1)log1010 000=4,即lg 10 000=4.

(2)log327=3化为指数式为33=27.

(3)log212=x化为指数式为2x=12.

(4)e2=x化为对数式为logex=2,即ln x=2.

变式　(1)A　(2)C　(3)　[解析] (1)因为lg 2表示以10为底2的对数,由对数的定义可知对数式x=lg 2化为指数式为10x=2.

(2)对数的底数和真数都不能为负数.故选C.

(3)因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,则a2m-n=(am)2÷an=22÷3=.

探究点三

例3　解:(1)∵33=27,∴log327=3.

(2)∵10-3=0.001,∴lg 0.001=-3.

(3)设x=log432,则4x=32,即22x=25,∴x=,即log432=.

(4)∵(-1)2=3-2,∴lo(3-2)=2.

变式　　2　[解析] ∵a>0且a≠1,∴由=得a==2=.loa=lo=2.

探究点四

例4　(1)①0　②1　③0　④0　⑤0　⑥0　⑦8　⑧51　[解析] ①log330=log31=0.

②log77=1.

③lg(lg 10)=lg 1=0.

④lg(ln e)=lg 1=0.

⑤ln(lg 10)=ln 1=0.

⑥ln(ln e)=ln 1=0.

⑦由对数恒等式=N,得0.=8.

⑧+=23×+35÷=24+27=51.

(2)解:①∵log3(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2.

②∵log2(lg x)=1,∴lg x=2,∴x=102=100.

③∵logx49=4,∴x4=72,∴x=.

④x===.

⑤x==(==c.

变式　(1)80　(2)①②③　[解析] (1)因为log2[log3(log4x)]=0,所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,所以x=43=64.同理求得y=16,所以x+y=80.

(2)log2(log216)=log24=2,ln(ln e)=ln 1=0,故①②正确;若1=log5M,则M=5,故③正确;若e=ln x,则x=ee,故④错误.

【课堂评价】

1.B　[解析] ∵a2=M,∴logaM=2,故选B.

2.AC　[解析] logx=4=logxx4,则x4=,y=x12.故选AC.

3.D　[解析] ∵log3x=3,∴x=33=27.故选D.

4.B　[解析] 由题意知解得0<a<.

故选B.

5.　[解析] 原式=+3+0-3+0=.