人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第1课时学案设计

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

4.4.2　对数函数的图像和性质

第1课时　对数函数的图像和性质

【课前预习】

知识点

R　(1,0)　0　(-∞,0)　(0,+∞)　(0,+∞)　(-∞,0)　x

诊断分析

(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　[解析] (1)因为当x=1时,y=loga1=0,所以函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像过定点(1,0).

(2)因为对数函数的定义域为(0,+∞),所以对数函数的图像一定在y轴的右侧.

(3)因为当a>1时,函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数,当0<a<1时,函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是减函数,所以函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是单调函数.

(4)当x=0时,函数y=log2|x|无意义.

(5)两函数的图像关于x轴对称.

【课中探究】

探究点一

例1　(1)C　(2)B　[解析] (1)因为a>0且a≠1,所以当a>1时,y=logax为增函数,其图像过定点(1,0),此时1-a<0,函数y=(1-a)x为减函数;当0<a<1时,y=logax为减函数,其图像过定点(1,0),此时1-a>0,函数y=(1-a)x为增函数.故选C.

(2)因为函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像恒过定点(1,0),所以令x-1=1,得x=2,故函数y=loga(x-1)的图像一定过点(2,0).故选B.

变式　(1)D　(2)B　[解析] (1)函数的定义域为(0,+∞),即函数的图像只出现在y轴右侧;函数的值域为(0,+∞),即函数的图像只出现在x轴上方;由y=可知,该函数在区间(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.分析A,B,C,D四个选项中的图像可知,只有D选项中的图像满足要求,故选D.

(2)方法一:依题意,函数的定义域为{x|x≠0}.当x>0时,y=ln x,函数的图像在y轴右侧,过点(1,0),且函数单调递增;当x<0时,y=-ln(-x),函数的图像在y轴左侧,过点(-1,0),且函数单调递增.故选B.

方法二:∵函数y=的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,令f(x)=,则f(-x)==-=-f(x),∴该函数为奇函数,其图像关于原点对称,故可排除A,C;当x>1时,∵|x|>0,ln|x|>0,∴y>0,即函数图像在x轴上方,故可排除D.故选B.

拓展　解:分别作出y=lg |x|和y=|lg x|的图像如图①,图②所示.

图①

图②

(1)B　[解析] 由图①可以看出,选项B正确.

(2)证明:由图②可以看出,若0<a<b<1,则f(a)>f(b)恒成立,此时ab<1成立;

若0<a<1<b,则f(a)=|lg a|=-lg a,f(b)=|lg b|=lg b,因为f(a)>f(b),所以-lg a>lg b,即lg a+lg b<0,所以lg(ab)<0,所以ab<1;

若1<a<b,则f(a)<f(b),

与条件f(a)>f(b)相矛盾.

综上可知,若0<a<b,且f(a)>f(b),则ab<1.

探究点二

例2　解:(1)因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数,

所以log21.9>log21.5.

(2)因为y=log0.6x在(0,+∞)上是减函数,

所以log0.61.1>log0.61.3.

(3)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.

(4)因为0>log0.23>log0.24,所以<,即log30.2<log40.2.

(5)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,

则有logaπ>loga3.14;

当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,

则有logaπ<loga3.14.

综上,当a>1时,logaπ>loga3.14;

当0<a<1时,logaπ<loga3.14.

变式　(1)B　(2)D　[解析] (1)∵log33<log35<log3=,∴1<log35<,即1<a<.∵ln 1<ln 2<ln e,∴0<ln 2<1,即0<b<1.∵1.51.5>1.51=,∴c>.综上,b<a<c,故选B.

(2)因为y=x3是R上的增函数,0.8>0.7,所以0.83>0.73,故A正确;因为y=lg x是(0,+∞)上的增函数,1.6>1.4,所以lg 1.6>lg 1.4,故B正确;因为y=log0.5x是(0,+∞)上的减函数,0.4<0.6,所以log0.50.4>log0.50.6,故C正确;因为y=x-0.1在(0,+∞)上单调递减,0.75>0.7,所以0.75-0.1<0.7-0.1,故D错误.故选D.

拓展　B　[解析] 设2x=3y=5z=t,则x=log2t=,y=log3t=,z=log5t=,∵x,y,z均为正数,∴t>1,∴3x-6z=3-=>0,即3x>6z,6z-4y=2-=>0,即6z>4y,∴3x>6z>4y,故选B.

探究点三

例3　(1)C　(2)A　[解析] (1)要使y=有意义,则需即解得1<x≤2,故函数的定义域为(1,2],故选C.

(2)因为函数y=log0.3x是(0,+∞)上的减函数,所以原不等式等价于解得x>.故选A.

变式　(1)A　[解析] 由题知A={x|0<x-1<4}={x|1<x<5},B={x|0<x<4},所以A∩B=(1,4).故选A.

(2)解:由题得loga(2a+1)<loga(3a)<loga1,

等价于或解得<a<1,

即a的取值范围为,1.

【课堂评价】

1.C　[解析] 由图可知,y=logax是减函数,y=logbx是增函数,所以0<a<1,b>1,故选C.

2.D　[解析] 令x+2=1,得x=-1,此时y=loga1+1=1,故函数y=loga(x+2)+1的图像过定点(-1,1).故选D.

3.D　[解析] 要使函数f(x)=+有意义,则需得即0<x<3或3<x≤4,所以函数f(x)的定义域是(0,3)∪(3,4].故选D.

4.D　[解析] 对于A,根据y=log0.5x为(0,+∞) 上的减函数,可知该式正确;对于B,由log34>log33=1=log66>log65,可知该式正确;对于C,由log34=1+log3>1+log3>1+log5=log56,可知该式正确;对于D,由π>e>1得logeπ>1>logπe,可知该式错误.故选D.

5.a<c<b　[解析] ∵a=log0.53<log0.51=0,b=20.5>20=1,0<c=0.50.3<1,∴a<c<b.