必修 第一册1.4 充分条件与必要条件导学案及答案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

1.4.2　充要条件

【课前预习】

知识点

2.p⇔q　充分必要条件　充要条件　互为充要条件

诊断分析

(1)√　(2)√　[解析] (1)因为x>0且y>0⇒/ xy<0且xy<0⇒/ x>0且y>0,所以p是q的既不充分也不必要条件.

(2)因为x=0且y=0⇒x2+y2=0,x2+y2=0⇒x=0且y=0,所以p是q的充要条件.

【课中探究】

探究点一

例1　解:(1)因为a=b⇒ac=bc,而ac=bc不能推出a=b,所以p是q的充分条件,但不是必要条件.

(2)在△ABC中,显然有A>B⇔BC>AC,所以p是q的充要条件.

(3)因为|x|>3⇔x2>9,所以p是q的充要条件.

(4)因为A⊆B⇒A∩B=A且A∩B=A⇒A⊆B,所以p是q的充要条件.

探究点二

例2　证明:①充分性:∵a+b=1,∴b=1-a,

∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,即a3+b3+ab-a2-b2=0.

②必要性:∵a3+b3+ab-a2-b2=0,

∴(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,

∴(a2-ab+b2)(a+b-1)=0.

∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,

∴a2-ab+b2≠0,∴a+b-1=0,∴a+b=1.

综上可知,当ab≠0时,a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件.

变式　解:(1)若A∪B=A,则B⊆A,则

解得0<m≤3,所以实数m的取值范围是0<m≤3.

(2)若选择条件①,即x∈A是x∈B的充分条件,则A⊆B,

所以解得m≥5,所以实数m的取值范围是m≥5.

若选择条件②,即x∈A是x∈B的必要条件,则B⊆A,

所以解得m≤3.

又m>0,所以0<m≤3,所以实数m的取值范围是0<m≤3.

若选择条件③,即x∈A是x∈B的充要条件,则A=B,

所以该方程组无解,所以不存在满足条件的实数m.

【课堂评价】

1.B　[解析] 由x2+(y-2)2=0,得x=0且y=2,∴x(y-2)=0.反之,由x(y-2)=0,得x=0或y=2,x2+(y-2)2=0不一定成立.故“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的充分不必要条件,故选B.

2.D　[解析] 由A∪B=B,得A⊆B;反之,由A⫋B,得A∪B=B.所以p是q的必要不充分条件,故选D.

3.C　[解析] a2+b2=c2⇔△ABC为直角三角形,故选C.

4.B　[解析] 由4x-m<0,得x<.因为p是q的一个必要不充分条件,所以>2,解得m>8.故选B.

5.-2　[解析] 若抛物线y=x2+mx+1关于直线x=1对称,则m=-2;反之也成立.所以抛物线y=x2+mx+1关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.